Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
Если в z = x + iy положить х = 0, то для е z получим
е i y = cosy + i siny (2.8)
Это есть формула Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции. Заменяя в формуле Эйлера у на –у, получим:
е –i y = cosy – i siny.
Теперь, комбинируя е i y и е –i y, имеем:
Эти формулы также называются формулами Эйлера.
Представим комплексное число z = a + iв в тригонометрической форме
z
=
r(cos
isin
),
где
;
argz
+ 2m,
m
= 0, 1,
2,
. . . ;
если
а >
0;
если а
;
argz =
/2
или –
/2
(3
/2)
если
а = 0.
По формуле Эйлера cos
i sin
= e i
и, следовательно, всякое комплексное
число можно представить в так называемой
показательной
форме:
z = |z| e i = r e i = r e i (arg z + 2 m).
Глава 3 многочлены
Определение. Пусть Р – заданное поле (R или С), а х – некоторый формальный символ. Выражение вида:
кхк + к-1 хк-1 + . . . + 1х + 0 х0, где индекс кZ0 : 0, 1, . . . ,к,
называется многочленом от переменного или (неизвестного) х над полем Р. По соглашению пишут х0 =1, а многочлен записывают в виде
к хк + к-1 хк-1 + . . . + 1 х + 0 (3.1)
Элементы 0, 1, . . . ,к, называются коэффициентами многочлена; коэффициент 0, называется свободным членом. Если все коэффициенты равны нулю, то соответствующий многочлен называется нулевым и обозначается нулем.
Наибольший индекс к, при котором к 0, называется степенью (или порядком) многочлена, а к – старшим коэффициентом многочлена. Нулевой многочлен степени не имеет.
Если хR и Р = R, то многочлен представляет собой числовую функцию одного действительного переменного. Такая функция называется полиномом или целой рациональной функцией.
Многочлены переменного х будем обозначать f(x), g(x) и т.п., а множество многочленов над полем Р – Р[x].
Два многочлена из множества Р[x]
f(x) = к хк + . . . + 1 х + 0 и g(x) = m xm + . . . + 1 x + 0
будем считать равными и записывать f(x) = g(x), если m = к (одинаковая степень) и i = i , для i = 0, 1, . . ., к.
Многочлен можно записывать и в порядке возрастания индексов
0 + 1 х + . . . + к-1 хк-1 + к хк (3.2)
Заметим, что многочлен g(x) степени m всегда можно заменить равным ему многочленом с индексом к m, добавив к g(x) многочлен
m+(к-m) x m+(к-m) + . . . + m+1x m+1, где m+1 = m+2 = . . . = m+(к-m) = 0, т.е.
g(x) = 0 + 1 х + . . . + m хm + 0 хm+1 + 0 хm+2 + . . .+ 0 хк.
Стало быть, любой многочлен можно рассматривать как последовательность {0, 1, . . .,m, 0, 0 . . . } из Р, в которой все члены с некоторого индекса равны нулю.