§5. Базис и размерность векторного пространства

Определение. Пусть К – векторное пространство над полем Р; предположим, что в этом пространстве существует конечное число n таких линейно независимых векторов , что всякий векторизК линейно зависит от . Тогда будем говорить, что совокупностьобразуетбазис пространства К и, что векторное пространство К имеет конечную размерность n, и записывается dimK = n.

Замечание. Существуют векторные пространства, не имеющие конечной размерности; говорят, что они имеют бесконечную размерность; в таких векторных пространствах имеются сколь угодно большие совокупности линейно независимых векторов. Например, векторное пространство многочленов. Рассмотрение таких пространств выходит за рамки нашего курса линейной алгебры.

Не существует базиса и в нулевом пространстве, так как система, состоящая из одного нулевого вектора, является линейно зависимой. Размерность нулевого пространства не определена и считается равной нулю.

Следствия из определения.

1. В n – мерном векторном пространстве К совокупность, состоящая более чем из n векторов, всегда линейно зависима.

2. Если К имеет несколько базисов, то эти базисы содержат одинаковое

число векторов, и число это равно размерности К; следовательно, dimK не зависит от выбора базиса. Действительно, если К имеет базис, отличный от , последний будет иметьn' векторов, причем n'  n. Точно также в К может существовать не более n' линейно независимых векторов, а значит n  n', и, следовательно, n = n'.

5.1. Построение базиса

Пусть имеется n – мерное векторное пространство К, т.е. в нем существует хотя бы один базис из n векторов. Выберем в К произвольный вектор . ЕслиК не содержит векторов, линейно независимых от , то для любого вектораимеемилиисоставляет базис пространстваК, которое имеет размерность 1.

Допустим, что размерность n > 1. Обозначим через вектор изК линейно независимый от . Предположим, что таким путем постепенно получены линейно независимые вектора. Еслиr  n, то К содержит вектора линейно независимые от , иначе эти вектора составляли бы базисК, содержащим r  n = dimK векторов, что невозможно. Стало быть, найдется такой вектор , что, линейно независимы. Этим способом можно получитьn линейно независимых векторов, которые и составят базис пространства К. Тот факт, что вектора для построения базиса были выбраны произвольно, свидетельствует о том, что всегда существует бесконечное множество различных базисов пространства К (но все они содержат одинаковое число векторов n = dimK). Тем самым можно считать доказанным также теорему о неполном базисе и лемму о замещении.

Теорема о неполном базисе. Всякую линейно независимую совокупность векторов гдеr  n = dimK всегда можно дополнить n – r другими векторами из К так, чтобы полученная система n векторов составляла базис пространства К.

Лемма о замещении. Пусть базис пространстваК. Тогда любой вектор из этого базиса можно заменить другим векторомизК, который не является линейной комбинацией остальных векторов в базисе:

. Тогда– базисК.