4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов

Определение 1. В любой системе векторовизК, содержащей ненулевые вектора, всегда можно выбрать подсистему , гдеr  m, состоящую из максимального числа линейно независимых векторов так, что присоединение любого вектора из этой системы к указанной подсистеме делает ее линейно зависимой; действительно, так как в системе имеется не нулевой вектор, а он всегда линейно независим, то r  1. Такая подсистема линейно независимых векторов называется базой исходной системы, а число r векторов в базе – рангом этой системы векторов.

Замечание. База системы определяется неоднозначно, но число векторов в базе (ранг) всегда одинаково. Например, из трех векторов , один из которых линейно зависим, можно построить три базы из двух векторов:.

Свойства базы.

1. Все вектора системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базы. (см. предыдущий п.4.3, теорема 2).

2. Любой вектор подпространства, порожденного системой векторов, можно представить в виде линейной комбинации только векторов, образующих ее базу и это разложение единственно.

Доказательство. Пусть G – подпространство, порожденное векторами и пустьr < m ( для r = m утверждение очевидно) база системы . Тогда оставшиеся вектора системыможно представить в виде линейной комбинации векторов базы

(4.8)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Теперь рассмотрим любой вектор :

.

Подставив в это равенство вектора из (4.8), получим

или .

Определение 2. Для векторного подпространства, порожденного системой векторов , база этой системы векторов называетсябазисом, а ранг системы векторов называется размерностью этого подпространства.

В качестве наглядного примера рассмотрим подпространство, порожденное системой свободных векторов.

4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой

свободных векторов

Рассмотрим подпространство, элементом которого является линейная комбинация из трех свободных векторов . Предположим, что эта система векторов линейно зависима. Случай линейно независимых векторов будет рассмотрен позже. Мы уже установили, что если линейная комбинация из трех свободных векторов линейно зависима, то это означает, что эти вектора компланарны, т.е. существует плоскость, которой они параллельны. Очевидно, компланарным будет и любой вектор, являющийся линейной комбинацией этих векторов. Поэтому подпространство, порожденное системой таких трех линейно зависимых векторов, представляет собой совокупность всех векторов, компланарных данным. Изображается такая система векторов направленными отрезками, лежащими в одной плоскости, либо в параллельных ей плоскостях. Далее, так как система из трех векторовлинейно зависима, то один из этих векторов является линейной комбинацией двух других векторов. Пусть этим вектором будет, где. Рассмотрим ситуацию, когда оставшиеся вектора линейно независимы, т.е. это означает, что они не коллинеарны. Тогда эти два упорядоченных вектора составят базис подпространства компланарных векторов и размерность этого подпространства равна двум.Следовательно, базис двумерного подпространства компланарных свободных векторов представляет собой два любых упорядоченных неколлинеарных вектора. Обычно в качестве базисных векторов двумерного пространства выбирают векторы, которые изображаются направленными отрезками, параллельными координатным осям Ох и Оу на плоскости и равные по модулю масштабному отрезку координатных осей. Первый вектор, направленный параллельно оси Ох, обозначают : его координаты (1,0), а второй вектор, направленный параллельно осиОу обозначают : его координаты (0,1). Выбор такого базиса обусловлен тем, что если представлять любой векторс координатами (х,у) двумерного подпространства через базис ,, то в этом случае коэффициентами линейной комбинации базисных векторов будут являться координатых и у вектора , т.е., и как мы уже видели, это разложение единственно.

Теперь рассмотрим случай, когда вектора и, (один из которых не равен) коллинеарны, т.е. линейно зависимы (или). Естественно и любой вектор, являющийся линейной комбинацией этих векторов, будет им коллинеарным. Поэтому подпространство, порожденное системой векторов, из которых только один линейно независим, (им является вектор не равный) представляет собой множество коллинеарных векторов. Базис такого подпространства состоит из одного ненулевого вектора и размерность такого подпространства равна единице. Одномерное подпространство изображается множеством направленных отрезков, расположенных на одной прямой или на параллельных ей прямых.

Теперь обобщим понятие базиса для совокупности векторов, составляющих все векторное пространство К.