- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения
Упражнения
Доказать: а) линейную зависимость векторов (2, –1, 2),(3, 1, –2),
(6, –3, 6); б) линейную независимость векторов (2, –1, –2),(3, 1, 1),(–4, 2, 1).
Доказать, что векторы (2, –1, –1),(2, –3, 0),(1, 1, –1) образуют
базис геометрического пространства и найти координаты вектора (–5, –4, –2) в этом базисе.
Доказать, что векторы ,,
компланарны.
Определить компоненты и записать разложение вектора в ортонорми-
рованном базисе , если= 2 и этот вектор составляет с осями абсцисс и ординат углы по 45.
5. Выяснить, является ли векторным подпространством данное множест-
во векторов в п-мерном векторном пространстве К над полем Р и, если является, найти его размерность: а) множество векторов, все координаты которых равны между собой; б) множество векторов, сумма координат которых равна 0; в) множество векторов, сумма координат которых равна 1.
Глава 5 матрицы
Определение 1. Матрица А над полем Р, состоящая из k – строк и m – столбцов, есть прямоугольная таблица элементов где
Определение 2. Произведение числа строк k на число столбцов m матрицы k × m (k на m), равное числу элементов матрицы , называетсяразмером матрицы.
Следует заметить, что матрицы с одинаковым числом элементов могут иметь разную размерность. Например, размерности матриц из m строк и n столбцов (m × n) и n строк и m столбцов (n × m) неодинаковы.
§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
Как было уже сказано, матрицу А размера k×m можно рассматривать как задание системы из m вектор-столбцов в пространстве Рk или из k вектор-строк в пространстве Pm. Можно показать (доказательство этой теоремы опускаем), что ранги систем вектор-столбцов и вектор-строк одинаковы.
Определение. Общее значение ранга системы вектор-столбцов (либо вектор-строк), заданных матрицей А, называется рангом этой матрицы и обозначается r(A).
Основываясь на выводах теорем о линейно зависимых и линейно независимых векторах, можно установить, что r(A) min(k,m), а также следующие элементарные преобразования матрицы, которые не изменяют ее ранга.
Элементарные преобразования матрицы:
1. Умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;
2. Прибавление к элементам одной строке (столбцу) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) этой матрицы;
Перестановка двух строк (столбцов) местами данной матрицы.
Комбинируя элементарные преобразования, мы можем к любой строке (столбцу) матрицы прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов) и при этом ранг матрицы также не изменяется. При помощи элементарных преобразований любую матрицу
можно привести к виду
В = илиЕ =
где вii 0, i = 1,2,...,r, r min (k,m). Ясно, что число r ненулевых элементов равно рангу матрицы: r = r (A) = r (B) = r (E). Таким способом можно определять ранг любой матрицы.
Теперь рассмотрим матрицу А размером k m как характеристику линейного отображения где, аВ этом случае ранг матрицы равен рангу этого линейного отображения. Действительно, система из вектор-столбцов матрицыА состоит из m векторов, принадлежащих , а множество отображений является линейной оболочкой системы вектор-столбцов матрицы А. Таким образом, размерность подпространства отображений (ранг линейного отображения) равен рангу системы вектор-столбцов (ранг матрицы), порождающих это подпространство.
Как мы уже установили раньше, отображение будет взаимно однозначно тогда и только тогда, когда размерности пространств совпадаютk = m и равны рангу r отображения, т.е. r = k = m. Следовательно, матрица, определяющая взаимно однозначное отображение должна быть размером m×m (квадратная), а ее ранг r(А) равен m.