3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
Определение.
Скалярным произведением
(другое
обозначение (
,
))
двух свободных векторов
и
,
в случае, если эти векторы не нулевые,
называется число, равное произведению
их модулей на косинус угла между ними
=
cos
. (4.4)
Если
=
или
=
(или
=
=
),
то скалярное произведение
по определению, считается равным нулю.
Следствия.
1. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
2. Скалярное произведение двух векторов выражается максимальным числом, если векторы коллинеарны и имеют одинаковое направление ( = 0), и минимальным числом, если они коллинеарны, но направлены в противоположную сторону ( = ).
3.
Скалярное
произведение вектора
на
равно квадрату модуля вектора
:
=
2,
отсюда 
=
.
Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений их соответствующих координат:
(х1,у1,z1)
,
(х2,у2,z2);
=х1·х2
+ у1·у2
+z1·z2
(4.5)
Упражнения
По данным векторам
и
построить векторы 2
–
и
–
2.
2.
Определить, при каких значениях
и
векторы
(2,,
1) и
(3,
–6,)
коллинеарны.
3. Проверить, что точки А(3, –1, 2), В(1, 2, –1), С(–1, 1, –3), D(3, –5, 3) служат вершинами трапеции.
4.
Вектор
составляет с осями координат острые
углыα,
β,
γ, причем,
α
= 45º, β
= 60º. Найти его координаты, если 
= 3.
5.
Найти направляющие косинусы направления
L,
заданного направленным отрезком
,
гдеА(1,0,
–1) и В(3,1,
–3).
6. Определить, лежат ли точки А,В,С,D в одной плоскости:
а) А(1,2,3), В(7,3,2),С(–3,0,6) и D(9,2,4);
б) А(1,1,3), В(5,3,2),С(–3,0,6) и D(9,2,4);
в) А(1,2,3), В(–2,1,1),С(–1,3,2) и D(3, –4,3).
7. Высота, опущенная из вершины А треугольника АВС, делит противоположную сторону в соотношении 3:1. Определить координаты вершины А, если В(–1,1), С(3, 5), длина высоты равна 2.
8.
Даны векторы
(1,
–1,
2) и
(2,
–2,
1). Найти
проекцию вектора
= 3
–
на направление
вектора
.
§4. Векторное подпространство
Определение. Пусть имеется векторное пространство К над полем Р, и пусть G есть подмножество К, которое с законами индуцированными из К, само составляет векторное пространство над Р; тогда G называется векторным подпространством пространства К или линейным многообразием в К.
Из определения вытекает, что сумма любых векторов из G есть вектор, принадлежащий к тому же множеству G, и произведение числа из поля Р на вектор из G, принадлежит этому же множеству G.
Таким образом, каждое векторное подпространство само является векторным пространством, и наоборот, любое векторное пространство можно рассматривать как векторное подпространство. Например, Rm есть векторное подпространство пространства Rn для любого m < n и, в свою очередь, Rn есть подпространство Rn+1.
4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
Определение.
Пусть дана произвольная система m
векторов
,
принадлежащих векторному пространствуK
над полем Р.
Умножим каждый вектор
на число
,i
= 1,2,. . .,m
и результаты сложим. Полученное выражение
называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами ,m.
Так
как коэффициенты
,m
есть числа из поля Р,
которые выбираются произвольным образом
(среди
могут быть и нули), то линейных комбинаций,
образованных системой векторов
будет
бесчисленное множество. Каждая линейная
комбинация векторов определяет некий
вектор
(4.6)
принадлежащий
тому же векторному пространству К.
Такой вектор
называетсялинейной
комбинацией данных векторов
или говорят также, что вектор
разложен по векторам
,
а то бесчисленное множество G,
которое образуют эти вектора, будет
векторным подпространством пространства
К.
Называется это подпространство линейной
оболочкой
системы векторов
,
либо подпространством, порожденным
линейной комбинацией
векторов
из К.
Действительно, пусть
и
два произвольных вектора изG.
Имеем,
,
нейтральный
элемент
,
симметричный
элемент
.
С другой стороны для любого имеем,
,
следовательно, G К наделено свойствами векторного пространства и поэтому является векторным подпространством пространства К.
Рассмотрим теперь основные свойства системы векторов и подпространства порожденного ими.