- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения
§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
Рассмотрим векторное пространство Rn над полем R, в котором задан базис и пусть– произвольный вектор этого пространства, iR.
Определение 1. Вещественной линейной формой называется линейное отображение пространства Rn в R, которое каждому ставит в соответствие числоизR, где i и i – числа из R. Линейную форму называют также однородной формой первой степени, и чаще всего ее записывают в следующем виде:
, где.
Определение 2. Вещественной квадратичной формой называется линейное отображение Rn в R, которое каждому ставит в соответствие числоизR, где – координаты вектора ,– числа изR, для которых выполняется равенство .
Из определения следует, что . Поэтому квадратичная форма есть однородная форма второй степени.
Пример.
=
3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Квадратичную форму можно записать и при помощи матрицы. Для этого вектору изRn поставим в соответствие две матрицы: матрицу-столбец и матрицу-строкуX Т = ( n). Ясно, что X Т является транспонированной матрицей к X. Для коэффициентов ij квадратичной формы введем действительную матрицу
. Тогда
.
Матрица А называется матрицей квадратичной формы и поскольку для коэффициентов квадратичной формы ij ji, то матрица А является симметрической.
Рассмотрим, как изменяется матрица А при переходе в Rn от одного ортонормированного базиса к другому. Обозначим матрицу перехода через Т, а координаты вектора в новом базисе через. Тогда, или в матричной формеX = TY, где Т ортогональная матрица. Поэтому для квадратичной формы имеем
, гдеВ = ТТАТ.
Но так как Т ортогональна, то ТТ = Т–1 ; значит В = Т–1АТ, т.е. В преобразована из А посредством матрицы Т. Кроме того, преобразованная матрица В – тоже симметрическая, ибо
ВТ = (Т–1АТ)Т = (ТТАТ)Т = ТТАТ(ТТ)Т = ТТАТ = В.
Поскольку АТ = А.
Так как матрица А симметрическая, то Rn обладает хотя бы одним ортонормированным базисом , составленным из собственных векторов матрицыА; тогда если в качестве нового базиса выбрать базис , то преобразованная матрица в этом базисеи имеет диагональный вид
здесь собственные значения i матрицы А могут быть как различные, так и совпадающие, но все действительные. Если матрица квадратичной формы диагональная, то квадратичная форма принимает вид:
, гдеz1, z2, ... zn – координаты вектора , разложенным по базису.
Таким образом, относительно базиса , составленного из собственных векторов матрицы квадратичной формы, квадратичная форма имеет только члены с квадратами; говорят, что она приведена кканоническому виду.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
= 3х + 4х1х2 + х, где.
Составляем матрицу квадратичной формы:
(см. пример в начале параграфа).
Записываем характеристическое уравнение
, откуда .
Решая последнее уравнение, находим собственные числа:
3 . Обозначим координаты вектора в системе собственных векторов матрицы черезz1, z2, z3. Тогда квадратичная форма имеет вид
.
Находим ортонормированные собственные вектора матрицы:
; ;. Для этого уравнениеА() =записываем в координатной форме:
или
Положим . Тогда система принимает вид:
Эта сиcтема имеет единственное решение ,. Величина компоненты любая. Чтобы вектор был нормированным, т.е. чтобы, примем. Имеем.
Поскольку , то система принимает вид:
Отсюда ,,, гделюбое действительное число. Нормируя, получаем ;;. Следовательно,.
Для третьего собственного числа имеем систему:
Отсюда ,,, где– любое действительное число. Нормируя, находим,,, т.е. вектор. Таким образом, собственные векторы квадратичной формы:,,, а каноническая форма квадратичной формы:.