3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве

Определение 1. Два направленных отрезка равны, если выполнены следующие условия:

1. начало отрезков находятся в одной и той же точке;

2. длины отрезков равны;

3. отрезки принадлежат одной прямой;

4. направленные отрезки имеют одинаковые направления.

Если для установления равенства векторов основываться на данном определении, тогда для любого вектора представленного направленным отрезком – равным ему будет вектор, который изображается тем же направленным отрезком. Вектора, удовлетворяющие этому правилу, называютсясвязанными векторами. Связанные вектора отображаются единственным направленным отрезком, и другого направленного отрезка равного этому вектору не существует.

Определение 2. Два направленных отрезка равны, если выполнены следующие условия:

1) длины отрезков равны;

2) отрезки принадлежат одной прямой;

3) направленные отрезки имеют одинаковые направления.

Если для установления равенства векторов основываться на данном определении, тогда множество направленных отрезков расположенных на одной прямой и имеющие одинаковую длину и направление (отложены они могут быть из любой точки этой прямой) отображают равные вектора, а, следовательно, один и тот же вектор, такое множество равных между собой (в смысле определения 2) направленных отрезков называется скользящим вектором.

Определение 3. Два направленных отрезка равны, если выполнены следующие условия:

1) длины отрезков равны;

2) направленные отрезки имеют одинаковые направления;

3) направленные отрезки коллинеарны.

Если для установления равенства векторов основываться на данном определении, тогда множество направленных отрезков, расположенных на одной прямой или на параллельных прямых, имеющие одинаковую длину и направление, отображают равные вектора. Такое множество равных между собой (в смысле определения 3) направленных отрезков называется свободным вектором.

Свободный вектор обозначают и изображают любым из направленных отрезковтого множества направленных отрезков, которое является вектором. В каждой точке пространстваА' всегда можно построить направленный отрезок , принадлежащий множеству направленных отрезков данного вектора(т.е.=) и этот направленный отрезок для конкретной точкиА' будет единственным. Эту операцию осуществляют при помощи параллельного переноса.

В дальнейшем будем рассматривать лишь свободные вектора, и называть их, по мере возможности, просто векторами. Это связано с тем, что на свободные вектора накладывается наименьшее число ограничений, и все остальные вектора представляют собой частный случай свободных векторов, на которые накладываются дополнительные ограничения.

3.2. Векторное пространство свободных векторов над полем R

На множестве свободных векторов в геометрическом пространстве зададим две операции – сложение векторов и умножение на число из поля R. Покажем, что с этими операциями множество свободных векторов образует векторное пространство над полем R.

Сложение свободных векторов. Пусть даны два свободных вектора и. Построим равные им направленные отрезкии(это можно сделать для любой точкиВ пространства). Тогда направленный отрезок , принадлежащий множеству направленных отрезков вектора, называется суммой векторовии обозначается+. Заметим, что все три вектора,и+=принадлежат одному и тому же множеству свободных векторов, т.е. сложение есть внутренний закон композиции. Выясним его свойства.

1. Сложение векторов коммутативно, т.е. +=+. Действительно, отложим векторот произвольной точкиА: =, а от точкиВ отложим вектор :=. Тогда+ = . Отложим теперь сначала от точкиА вектор :=. Тогда в силу равенства=(четырехугольникАВСD – параллелограмм) имеем , т.е.есть вектор, отложенный от точкиD. Таким образом, +=+=и поэтому+=+.

2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых векторов ,ивыполнено

Доказательство. Пусть А – произвольная точка, а В, С, D – такие точки, что тогда

,

.

3. , т.е. – нейтральный элемент.

4. , – симметричный элемент.

Последние два свойства очевидны. Таким образом, сложение на множестве свободных векторов составляет абелеву группу.

Умножение свободного вектора на число из R. Произведением числаR на свободный вектор в случае,  , называется вектор, коллинеарный вектору, модуль которого равени который направлен в ту же сторону, что и вектор, если   и в противоположную, если   . Если  =  или =, то по определению=.

Из определения вытекает следующее условие коллинеарности векторов: если два вектора исвязаны соотношением=, то эти вектора коллинеарны. Такие вектора называютсяпропорциональными.

Таким образом, умножение вектора на число R представляет собой внешний закон композиции. Определим его свойства.

1. Для любых чисел R и R и любого вектора .

2. 1·=, = 1 – нейтральный элемент умножения в R.

3. Для любых чисел R и R и любого вектора

.

2. Для любых векторов ии любого числаR

.

Первые три свойства очевидны. Докажем свойство 4. Предположим, что векторы ине коллинеарны. Случай коллинеарности векторовисводится к свойствам 3 и 2. Отложим векторот точкиА: а векторот точкиВ: . Построим векторыи(рис.2.3).

Рис. 2.3