- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения
2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
Собственные векторы линейного отображенияf, принадлежащие к различным собственным значениям этого отображения, будучи линейно независимыми, могут образовать базис пространства К размерности n. Это возможно, например, если отображение f имеет n различных собственных значений; допустим, что это имеет место; обозначим их через . . .,n. Все они служат простыми нулями характеристического многочлена.
Пусть – собственные векторы, принадлежащие соответственно собственным значениям, образуют базис пространстваК. В принципе может случиться, что линейное отображение имеет меньше чем n собственных значений, но все же имеет базис из собственных векторов.
Пусть есть произвольный вектор изК, а – соответствующий вектор в Сn. Имеем Отсюда следует, что соответствующим вектором вСn будет вектор ; стало быть, он получается изпри помощи диагональной матрицы
Таким образом, если в качестве базиса в К берутся собственные векторы , то отображение пространстваСn в Сn, соответствующее отображению f, задается диагональной матрицей U. Если же – произвольный базис в К, то
дляj =1,2, . . ., n и матрица перехода
.
Пусть А – матрица, представляющая отображение f , когда в качестве базиса в К взяты ; тогдаU = T–1AT. Следовательно, существует такая обратимая матрица Т, что матрица, преобразованная из А посредством Т, будет диагональной матрицей U. Матрица U не единственная, ибо можно изменять порядок векторов ; однако, если существует диагональная матрица, преобразованная изА, то ,
т.е. (книга 2, гл.3, §4), (–1)n( )(n)=( –1)n(–)n), стало быть, числа ,...,n являются, с точностью до порядка следования, собственными значениями, а W есть одна из матриц вида U.
Заметим, что векторное подпространство собственных векторов, принадлежащих одному собственному значению, имеет размерность, равную единице. Действительно, если и – два собственных вектора, принадлежащих собственному значению , то оба они принадлежат векторному подпространству, являющемуся дополнением (n – 1)-мерного векторного пространства, порожденного векторами , а значит, векторному подпространству размерности единица. Следовательно,,(при этом ).
Если не все собственные значения различны, то не всегда можно найти диагональную матрицу, представляющую линейное отображение. Однако и в этом случае можно найти матрицу, выявляющую собственные значения и имеющую форму, удобную для вычислений. Для рассмотрения этого случая отсылаем читателя к специальной литературе.
Для вещественного пространства Rn комплексные корни характеристического уравнения не могут быть собственными значениями, так как для них не имеет смысла равенство , поскольку координаты вектораи элементы матрицыА принадлежат полю R действительных чисел. Поэтому линейное отображение Rn в Rn, заданное матрицей А над полем R действительных чисел, для которой характеристическое уравнение имеет только комплексно сопряженные корни (т.е. ни одного вещественного корня) собственных значений не имеет (степень такого характеристического многочлена должна быть четной). Однако, если линейное отображение Rn в Rn задано симметрической матрицей А, то все корни характеристического уравнения такой матрицы действительны; все принадлежащие им собственные векторы могут быть выбраны действительными. В этом случае собственные векторы матрицы А образуют базис, и в этом базисе матрица линейного отображения имеет диагональный вид. Рассмотрим это на примере приведения к диагональному виду симметрической действительной матрицы А, определяющей квадратичную форму на Rn.