§6. Комплексные функции

1. Комплексные функции одного действительного переменного

Определение. Комплексной функцией одного действительного переменного называется отображение R (либо некоторого подмножества из R) в С.

Пусть х принадлежит некоторому множеству Р из R, а F есть комплексная функция от х, определенная на Р. Значение функции F в точке х есть комплексное число F(х), действительная и мнимая части которого суть действительные числа, значение которых зависит от х, т.е. это числовые функции действительного переменного. Таким образом, F(х) =  (х) + ig(х), где  и g – числовые функции действительного переменного, определенные на P  R.

Из определения множества С следует, что оно тождественно множеству R². Поэтому комплексную функцию F одного действительного переменного можно рассматривать как отображение множества Р в R² или если Р = R, то F : R R², либо как упорядоченную пару двух числовых функций одного действительного переменного F (х) = ( (х), g(х)).

2. Комплексные функции одного комплексного переменного

Определение. Комплексной функцией одного комплексного переменного называется отображение С (либо некоторого подмножества из С) в С.

Пусть Р некоторое множество из С. Если каждому комплексному числу zР при отображение F ставится в соответствие комплексное число F(z), то действительная и мнимая части F(z) суть действительные числа, значения которых зависит от z, стало быть – это будут значения двух числовых функций комплексного переменного z. Таким образом

F(z) =  (z) + ig(z).

Но С отождествляется с R², т.е. каждое комплексное число z = х + iy  С отождествляется с точкой (х,у)R², поэтому мы можем считать  и g числовыми функциями двух действительных переменных х и у. Следовательно, можем написать

F(z) =  (х,у) + ig(х,у) или F =  + ig.

Тогда функция F выступает как отображение R² в R², или как упорядоченная пара двух числовых функций двух действительных переменных:

F(z) = ( (х,у), g( х,у)).

3. Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства

Числовая показательная функция х  а^х (а > 0 и а  1) действительного переменного хR осуществляет взаимно однозначное отображение множество R действительных чисел на множество R⁺ положительных действительных чисел; это отображение переводит сложение в умножение, т.е. сумме х₁ + х₂ эта функция ставит в соответствие произведение образов слагаемых:. Существует ли комплексная функцияf комплексного переменного z, определенная на С и такая, что, каковы бы ни были z₁С и z₂С,

f (z₁ + z₂) = f (z₁) · f (z₂).

Установлено, что такая функция f существует и ею является функция z е^z, значения которой для любого z = x + iy  С определяются следующим образом

f (z) = e^x+iy = е^х (соsy + i siny).

Действительно, нетрудно показать, что для этой функции имеем

.

Кроме этого свойства показательная функция f (z) = e^z обладает также и следующими свойствами:

1. ;

4. 2. (е ^z) ^m = e ^{m z} , где m – целое число;

5. 3.;

4. где m – целое число.

На основании свойства 4 следует, что показательная функция е ^z есть периодическая функция с периодом 2 i.