- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения
5.2. Основные свойства базиса
Пусть есть любой вектор изК размерности n; так как он линейно зависит от базиса , то вР найдутся такие числа . . ., n, не все равные нулю, что . При этом , ибо в противном случае были бы линейно зависимы. Так какР есть поле, то существует . После умножения наполучим:, где,i =1,2,...,n.
Таким образом, векторное пространство К порождено базисом , а данное выражение называетсяразложением вектора по базису. Числаназываютсякомпонентами (координатами) вектора в базисе.
Теорема. (Основное свойство базиса) Представление любого вектора из пространстваК через его базис единственно, или другими словами, в заданном базисе компоненты вектора определяются однозначно.
Доказательство. Предположим, что теорема не верна и вектор в базисеимеет различные компонентыи. Тогда вычитая эти равенства, получим. Поскольку векторалинейно независимы, тои отсюда.
Замечание. Один и тот же вектор в различных базисах имеет разные компоненты.
В качестве наглядного примера рассмотрим пространство свободных векторов.
5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
Выберем систему, состоящую из трех упорядоченных свободных векторов . Случай, когда эта система векторов линейно зависима, нами уже рассмотрен в предыдущем параграфе п.4.5. Теперь рассмотрим ситуацию, когда система из трех векторовлинейно независима, т.е. это упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Теорема. Присоединение любого свободного вектора к системе из трех некомпланарных свободных векторовделает ее линейно зависимой, или другими словами: любой свободный векторявляется линейной комбинацией трех упорядоченных некомпланарных векторов и это представление единственно. Тем самым мы установим, что совокупность трех упорядоченных некомпланарных векторовявляется базисом пространства свободных векторов и его размерность равна трем.
Доказательство. Отложим все векторы ,от одной и той же точкиА:. Пусть F – проекция точки В4 на плоскость АВ1В2 параллельно прямой АВ3, а Q – проекция точки F на прямую АВ1 параллельно прямой АВ2. Тогда Векторы соответственно коллинеарны векторам . Полагаяполучими, следовательно,, т.е. векторы,линейно зависимы.
Таким образом, базис пространства свободных векторов состоит из трех упорядоченных некомпланарных векторов. Если в качестве базисных векторов выбрать три упорядоченных вектора, которые изображаются направленными отрезками, параллельными соответственно трем осям прямоугольной декартовой системы координат x, y, z и модуль каждого вектора равен масштабному отрезку этих осей, то такой базис называется ортонормированным базисом. Первые два базисных вектора, как и на плоскости, обозначают , а третий базисный вектор, параллельный осиOz, обозначается , и называются эти вектораортами. Координаты этих векторов будут: . Такой выбор базисных векторов обусловлен тем, что в разложении любого векторапо ортонормированному базису,коэффициентами разложения являются координатыx,y,z вектора :=.
Рассмотрим выражение скалярного произведения двух векторов и, разложенных по ортонормированному базису, т.е.и. Тогда
=
. Но так как – попарно перпендикулярные (ортогональные) вектора и модуль их равен единице, то
, значит =x1x2 + y1y2 + z1z2.
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат только в том случае, если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе.