5. Средние величины и показатели вариации

5. 1. Средние величины

Средней величиной называют обобщенный показатель, который характеризует типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Например, необходимо сравнить предприятия по уровню заработанной платы. Как это сделать?

На каждом предприятии фонды заработанной платы разные, т.к. фонд заработанной платы зависит от числа работников. Сравнивать по фонду заработанной платы нельзя.

На каждом предприятии заработанная плата у разных работников разная. Можно сравнивать по одинаковой категории работников, но это возможно только в том случае, если все категории на всех предприятиях совпадают. Но предприятия все разные, поэтому вывод сделать не удастся.

Остается один путь – вычислить среднюю заработанную плату на одного работника.

Если мы решили для сравнения предприятий по уровню заработанной платы использовать среднюю заработанную плату на одного работника, то необходимо уяснить, как ее рассчитывать. Если мы сложим все заработанные платы и разделим их на число работников, то в результате получим «огульное» среднее, т.к. у директора и у рабочего заработанные платы существенно разные.

Более объективная будет оценка, если всех работников разбить на группы и определить средний уровень заработанной платы в каждой группе.

Виды среднего значения:

1. средняя арифметическая простая и средневзвешенная.

2. средняя гармоническая, простая и взвешенная.

3. средняя геометрическая.

Среднее арифметическое значение измеряемых величин рассчитывается по формуле , где- частное значение измеряемой величины;nобщее число измерений.

а) Простая средняя арифметическаяприменяется, если значения– повторяется один раз.

Пример 5. 1.Сколько времени в среднем мы тратим на дорогу, если реальное время составляло

Дни недели	П-к	В-к	Ср	Чт	Пт	Сб
Время , мин.	30	35	25	40	45	50

мин. Проверка:;.

б) Простая арифметическая средневзвешеннаяприменяется в том случае, если одинаковые значенияповторяется несколько раз. Если одинаковые значенияповторяетсяраз, то общую формулу можно представить в виде

,

где ;- доляi–х значений от общего числа измерений.

Пример 5. 2.Сколько времени в среднем мы тратим на дорогу, если реальное время составляло

Дни недели	П-к	В-к	Ср	Чт	Пт	Сб
Время , мин.	30	35	30	35	35	50

мин.

Или мин.

Свойства простой средней:

если все значения увеличить вkраз, то и значениеувеличится вkраз;

если все значения увеличить наdединиц, то и значениеувеличится наdединиц.

Частные случаи вычисления среднего арифметического значения

а) Вычисление средней в относительных величинах.

Пример 5. 3. Четыре предприятия выпускают различную продукцию, в т.ч. товары народного потребления. Определить среднюю долю продукции народного потребления

Таблица1

Сведения о предприятиях

№ пп	Общий объем продукции, млрд. руб.	В том числе продукция народного потребления, %
1	138	75
2	650	38
3	1043	12
4	219	64
Всего	2050

Чтобы от общего объема продукции (2050) найти долю товаров народного потребления, равную надо знать. Если перейти от % к доле (g), например, 75% → 0,75, то общее количество товаров народного потребления для первого предприятия составит

млрд. руб.

Тогда общий объем товаров народного потребления составит

Доля товаров народного потребления составит

%

б) Вычисление средней интервального ряда.

При использовании таблиц возникают две проблемы:

1. В таблицах интервального ряда указывается интервал значений , а не частное его значение.

2. Интервальный ряд может быть с открытыми интервалами.

Пример 5. 4.Распределение рабочих предприятия по возрасту.

Таблица 2.

Распределение работников предприятия по возрасту

Возраст,	До 20	20-30	30-40	40-50	Старше 50	Всего
Число рабочих	48	120	75	63	54	360

Рекомендации. 1. Частное значение измеряемой величины следует принимать равным среднему значению для интервала. Чем меньше интервал, тем меньше ошибка в расчетах.

2. В таблице есть открытые интервалы: до 20 лет и старше 50 лет. К сожалению, нет правил определения не указанных границ открытого интервала. Поэтому границы открытого интервала следует определять своим решением в разумных пределах. Например, от 18 до 20, от 50 до 60.

Исходя из сказанного, таблицу 2 следует представить в виде тогда

Таблица 2а.

Возраст,	18-20	20-30	30-40	40-50	50-60	Всего
Средний,	19	25	35	45	55	-
Число	48	120	75	63	54	360

При использовании ПК в Excelесть команда Сумма произведений в разделе математические формулы, что существенно упрощает расчеты. При отсутствии ПК, бывает полезен такой подход.

Пример 5. 5.Вычислить среднее из чисел: 10230;10250;10270; 10300.

Числа большие, но отличаются незначительно.

1. Выберем или примем число, которое примерно соответствует среднему результату, например, 10250;

2. Вычислим разность между частными значениями и этим числом:

-20 0 +20 +50

3. Сумма разностей равна+50.

4. Среднее значение равно

.

Гармоническое среднее чисел– называется число, обратная величина которого является средним арифметическим обратных величин и определяется по формуле

,

где n– количество чисел.

Примечание. В учебниках есть и другая форма представлений гармонического среднего чисел -взвешенное гармоническое среднее, но в компьютере используется только приведенная формула.

Пример 5. 6.Известны общие затраты на производство продукции на трех заводах и себестоимость этой продукции на каждом заводе. Определить среднюю себестоимость продукции.

Таблица 3.

Сведения о предприятиях

№ Завода	Себестоимость единицы продукции, тыс. у.е.	Общие затраты на всю продукцию, тыс. у.е.
1	40	400
2	50	950
3	16	336
Всего		1686

Р е ш е н и е.

Согласно определения, обратная величина среднего гармонического числа, т.е.

0,035833, равняется среднему арифметическому обратных величин, т.е.0,035833. Действительно, эти числа совпадают.

В условиях примера 6 среднюю себестоимость можно определить и по формуле средней арифметической. Действительно, если на первом предприятии общие затраты составляют 400 у.е., а себестоимость единицы продукции равна 40 у.е., то произведено всего 10 единиц продукции. Выполнив аналогичные расчеты, имеем

№ Завода	Себестоимость единицы продукции, тыс. у.е.	Общие затраты на всю продукцию, тыс. у.е.	Произведено единиц
1	40	400	10
2	50	950	19
3	16	336	21
Всего		1686	50

Сопоставляя результаты расчетов, отметим, что среднее гармоническое не превосходит среднее арифметическое. Чем меньше отличия частных значений, тем ближе среднее гармоническое к среднему арифметическому. Область применения средней гармонической четко не определена. Отмечается лишь, что в области экономики средняя гармоническая встречается крайне редко. Условимся применять ее, когда число измерений не велико.

Пример 5. 7.Три предприятия доложили о выполнении плана: первое – на 105%, второе- на 90%, третье- на 110%. Найти средний процент выполнения плана.

Р е ш е н и е. 1. Средняя арифметическая равна

% .

2. Средняя гармоническая равна

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется для определения средних темпов роста и прироста и рассчитывается по формуле:

.

Кроме того, среднюю геометрическую применяют для определения среднего из резко отличающихся величин.

Пример 5. 8.Динамика производства продукции

Годы	2000	2001	2002	2004	2005
Объем продукции	1000	1100	1200	1300	1400
Базисный темп роста	-	1,1	1,2	1,3	1,4

Определим средний базисный темп роста:

- статистическая средняя геометрическая.

Определим средний цепной темп роста по формуле:

.

Средние темпы прироста целесообразно рассчитывать как разность между средним темпом роста и единицей. Можно результат выразить в процентах. Например, средний темп прироста за период с 2000 по 2005 годы составил %, а среднегодовое изменение темпов прироста в этот период составляло%.

Пример 5. 9.В лотерею максимальный выигрыш 1 000 000 руб., минимальный 100руб. Каков средний выигрыш?

Если использовать среднее арифметическое значение, получим

Если использовать среднее геометрическое значение, получим

Очевидно, второе значение ближе к истине. Более объективную оценку дало бы средневзвешенное значение.

Например, если предположить

Размер выигр.	1000000	500000	100000	50000	1000	500	100	Всего
Колич.	1	2	3	4	10	100	200	320

. Результаты сопоставимы.

Существуют и другие формы средних значений, но на практике они не применяются. Описание их имеется в любом учебнике.

В заключение отметим соотношение средних:

.

Кроме средних значений в статистике используют моду и медиану.