1.4. Определение вида закона распределения случайной величины.

Вернемся к исходной таблице рассматриваемого примера, добавив еще одну строку в которой проставим частость одинаковых ответов

Размер,	39	40	41	42	43	44	45
Количество,	1	3	4	5	4	2	1	20
Частость,	0,05	0,15	0,2	0,25	0,2	0,1	0,05	1,00

Представим имеющиеся данные в виде графика. Как видно из графика: - численные значения изменяются не беспредельно; - чем больше отклонение от среднего значения, тем меньше частость ее появления и наоборот. Следовательно, имеют место элементы, присущие нормальному закону.

Выдвигаем гипотезу (Высказываем предположение): случайные величины распределены по нормальному закону. Но нормальный закон характерен для генеральной совокупности, а у нас выборка ограниченного объема. Насколько приемлема наша гипотеза?

Вполне очевидно, что при нормальном законе распределения частости будут иные. Если они отличаются от опытных данных несущественно, то можно согласиться с выдвинутой гипотезой, если отличия существенные, то придется опровергнуть гипотезу. Но что значит «несущественно»? Видимо придется установить какой-либо критерий. Существуют различные способы установления критерия, который принято называть «Критерий согласия». К числу наиболее распространенных способов относятся: критерий согласия Пирсона ( хи – квадрат); Романовского; Колмагорова и Ястремского.

Сущность всех способов одинакова и сводится к определению опытного значения критерия согласия и сравнению его с некоторым теоретическим значением. Если опытное значение критерия согласия превосходит теоретическое его значение, то гипотеза отвергается, если не превосходит, то принимается. Наиболее распространенным является критерий согласия Пирсона ( хи – квадрат). Рассмотрим порядок проведения расчетов при использовании этого способа.

Формулируем основную гипотезу: опытное распределение соответствуют теоретическому распределению, что записывается в виде . Тогда конкурирующая гипотеза.

Опытное значение критерия согласия рассчитывают по формуле ,

где	n	– общее число опытов;
		– число значений, оказавшихся в i–м интервале по результатам опыта;
		– теоретическая частость попадания в i–ый интервал;
		– число значений в i–м интервале, которое соответствует теоретическому распределению.

По физическому смыслу критерий согласия Пирсона- это мера отклонений опытных данных от теоретических.

Для того чтобы найти теоретическую частость попадания вi–ый интервал, необходимо сначала вычислить отклонения от среднего значения и это отклонение выразить в среднем квадратическом отклонении для генеральной совокупности, т.е.. Например,.

Результаты аналогичных расчетов сведем в таблицу

Размер,	39	40	41	42	43	44	45
	-1,86	-1,22	-0,58	0,06	0,71	1,35	1,99

Затем, используя таблицу функции распределения нормального закона найти соответствующие значения. Например, первому столбцу должно соответствовать значение

f(39)=F(-1,86)–F(-1,22),

второму столбцу f(40)=F(-0,58)-F(-1,22) и т.д.

Примечание.При отсутствии таблицы можно воспользоваться компьютером. Для этого вExcelв какой-либо столбец ввести значения.Выделить ячейку рядом с первым числом, вызвать Статистические функции, НОРМСТРАСП и в появившемся подменю указать первое числох = –1,86. Ок. В ячейке появится 0,031, соответствующее

F(-1,86). Аналогично дляF(-1,22)= 0,111.

Вычитая, имеем

f(39)=F(-1,26)–F(-1,52)= 0,111-0,031=0,080.

Аналогичные и последующие расчеты заносим в таблицу

Размер,	39	40	41	42	43	44	45
	-1,86	-1,22	-0,58	0,06	0,71	1,35	1,99
	0,031	0,111	0,281	0,524	0,761	0,911	0,977
	0.080	0.170	0.243	0.237	0.150	0.065	0.019
	1	3	4	5	4	2	1
	0,222	0,046	0,152	0,014	0,328	0,371	1,008

Суммируя последнюю строку, получим

=2,142.

Необходимо сравнить опытное значение с теоретическим значением. Теоретическое значениенаходят по специальным таблицам, Входом в таблицу является гарантированная вероятность и число степеней свободы. Число степеней свободы находят по формуле, гдеk– число разрядов в таблице (в нашем случае число столбцовk=7);s– число наложенных связей. Одна связь присутствует всегда. Действительно, если сумма вероятностей равна единице, тоn-1 значений могут быть любыми, а одна всегда равна. Если потребуем равенства, то это еще одна связь. Если потребуем равенства дисперсий, то это еще одна связь. Итого три. Следовательно, число степеней свободы. По таблице, для уровня значимости, при, находим.

Вывод. Так как , то с вероятностью 90% можно утверждать, что нет оснований для того, чтобы отвергнуть гипотезу. Вероятность того, что мы ошибаемся равна.

Примечание. При отсутствии таблицы можно воспользоваться компьютером. Для этого вExcel вызвать Статистические функции, ХИ2ОБР и в появившемся подменю указать Вероятность 0,1, Степеней свободы 4. Ок. Прочитать ответ 7,77944.

Пример 1. 2.В казино поступила жалоба, что игральная кость с неравномерным выпадением очков. Необходимо проверить следуют ли экспериментальные данные закону равной вероятности. Для решения этой задачи проведен эксперимент, в котором произведено 600 бросаний.

Используем критерий χ². Основная гипотезаНо:, конкурирующая гипотеза. Результаты эксперимента и промежуточные расчеты отражены в таблице.

Число очков,	Их число в эксперименте,	Теоретическое значение		Примечание
1	101	100	0.01
2	86	100	1.96
3	107	100	0.49
4	94	100	0.36
5	97	100	0.09
6	115	100	2.25
Всего	600	600	5,16

Суммируя, находим

Число степеней свободы: ;k=6 – число строк;s=3. Следовательно, r =6-3=3.

. Так как, то нет оснований для того, чтобы отвергнуть гипотезу о равномерном выпадении очков. Отклонения–следствие случайности. Вероятность того, что мы ошибаемся составляет 5%.