5. 2. Понятие о моде и медиане

Моду и медиану принято называть «Структурные средние».

МОДА– наиболеечастовстречающаяся величина.

Пример 5. 10. Используя данные таблицы, найти моду.

Кол-во членов семьи, чел	2	3	4	5	6	7	8	9	Σ
Кол-во семей	50	80	260	40	30	20	10	10	500

Мода равна четырем, что соответствует самой большой частоте. Если такую задачу поставить компьютеру, то он выдаст ответ 10, т.к. в отличии от других, цифра 10 встречается 2 раза.

МЕДИАНА –делит пополам вариационный ряд, в котором индивидуальные значения признака расположены в порядке убывания или возрастания (Ме). Например, в нашем примере признак–это количество членов семьи, который расположен в порядке возрастания.

Кол-во членов семьи, чел	2	3	4	5	6	7	8	9

Общее число клеток 8. Делим пополам - 4. Относительно точки 5,5 будет справа 4 клетки и слева 4 клетки. Следовательно, Ме=5,5. Необходимо четко уяснить, что речь идет о нахождении численного значения признака, соответствующего середине вариационного ряда.

Строго говоря, такой подход не совсем верен. Медиана должна указать такую величину признака, относительно которой величина, как большего значения, так и меньшего значения одинаковы и равны 0,5. Найдем значение медианы при таком подходе.

Кол-во членов семьи, чел	2	3	4	5	6	7	8	9	Σ
Кол-во семей	50	80	260	40	30	20	10	10	500
Частость	0,1	0,16	0,52	0,08	0,06	0,04	0,02	0,02	1,00
Функция распределения	0,1	0,26	0,78	0,86	0,92	0,96	0,98	1,00

Строим график функции распределения .

На оси ординат находим частость, равную 0,5. От нее идем до пересечения с , проектируя на ось абсцисс, находим Ме=3,5.

В дополнение к медиане могут, при необходимости, рассчитываться квадрили, которые делят вариационный ряд на 4 равные части. То есть, определив медиану, мы разделили ряд пополам. В каждой половинке находим медиану, в итоге получим 4 части.

При делении вариационного ряда на 10 частей получают так называемые децили.

5. 3. Вариация признаков и способы ее измерения

Все виды средних величин являются обобщающими характеристиками признаков. Средняя величина является обобщенной характеристикой частных значений, которые отклоняются от среднего значения как в большею, так и в меньшую сторону. Вариация признака – это характеристика отклонений частных значений от среднего значения. Чем меньше отклонения частных значений от среднего, тем лучше среднее отражает тенденцию изменения процесса. Вариация признака характеризуют показатели вариации.

Показатели вариации в статистике:

размах вариации;

среднее линейное отклонение;

средний квадрат отклонения (дисперсия);

среднее квадратическое отклонение;

коэффициент вариации.

1. Размах вариации позволяет оценить размах или амплитуду значений признака в изучаемом вариационном ряду.

2. Среднее линейное отклонение – среднее значение модуля отклонения от среднего значения. Среднее отклонение значений признака от средней арифметической величины равно нулю, поэтому показателем силы вариации выступает не алгебраическая средняя отклонений, а средний модуль отклонений. Среднее линейное отклонение более точно характеризует силу вариации, чем ее размах, но в расчетах используется очень редко.

3. Средний квадрат отклонения (дисперсия)

,

т.е. дисперсия –среднее значение квадрата отклонения от среднего значения измеряемой величины.

Свойства дисперсия:

если все значения увеличить вkраз, то значениеувеличится враз;

если все значения увеличить наdединиц, то значениене изменится.

Характеристика в виде квадрата отклонения затрудняет уяснения физического смысла полученного числа. В силу этого используют следующую характеристику.

4. Среднее квадратическое отклонение (СКО), или корень квадратный из дисперсии в литературе принято обозначать малой (строчной) греческой буквой сигма (σ) или s.

,

Первые четыре показателя вариации применяют при одинаковых признаках вариационного ряда. Если же признаки разнородные, то используют коэффициент вариации– процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, т.е..

Чем больше V, тем больше внутренних резервов в системе.

Коэффициент вариации позволяет сравнивать разные статистические совокупности (по смыслу) и разные и. СКО зависит от абсолютных значений признаков и среднего значения, а так же от степени разброса. Поэтому сравнивать СКО разных вариационных рядов нельзя. Чтобы иметь возможность сравнения переходят от абсолютных значений СКО к их относительным величинам.

Пример 5. 11. В одном вариационном ряду. В другом -. На первый взгляд в первом ряду разброс больше, а на самом деле – наоборот.

.

Если коэффициент вариации велик (более 40%), то это значит, что типичность найденной средней характеристики для данной группы невелика, многим единицам она не присуща.