К разделу 3.5

1. Определите при помощи таблиц истинности, какие из следующих формул являются законами логики:

1. (p Ú┐q) Ú (┐pq);

2. p Ú ┐p;

3. p→ q º p ┐q;

4. ((p→ (q  r))  (┐q Ú ┐r)) →┐p;

5. ┐ (p Ú q) º ((pq) Ú (┐p ┐q));

6. (p → q) → (┐ q → ┐ p).

*Логическим законом называют формулу, в результирующем столбце таблицы истинности которой встречаются только значения «истина». Рассмотрим для примера формулу: (p→q)→ (┐q → ┐p). Строим таблицу истинности.

Прежде всего, подсчитаем, сколько в формуле различающихся переменных: их две – p и q. Значит, количество строк в таблице можно вычислить, оно равно 2 в степени n, где n - число переменных. В нашем варианте число строк будет равно 4. Теперь выписываем слева переменные и задаем их истинностные значения таким образом, чтобы перебрать все их возможные комбинации. Пользуясь табличным определением логических союзов, последовательно выполняем операцию установления истинности формулы для каждого набора значений переменных.

Вывод: в результирующем столбце таблицы только значение «истина», значит, выражение является логическим законом.

р	q	┐р	┐q	p→q	┐q→┐р	(p→q)	→	(┐q→┐р)
и	и	л	л	и	и		и
и	л	л	и	л	л		и
л	и	и	л	и	и		и
л	л	и	и	и	и		и

2. Восстановите скобки и найдите главную логическую константу в каждой из следующих формул:

а) p┐q→r ≡ p→ (┐q→r)

б) ┐(pq→ p)

в) pq→r

г) ┐q→ (p Ú r) Ú q

Постройте таблицы истинности для этих формул.

3. Дизъюнкция «pÚq» - ложна. Суждение «q» - тоже ложно. Какое значение у «р»?

4. Известно, что q – истинно, а p – ложно. Определите истинностные значения формул:

а) p ≡ (q→ ┐ p); б) (┐ pq) ≡(q Ú ┐q)

5. Одного человека судили за участие в ограблении. Обвинитель и защитник в ходе судебного заседания заявили следующее:

Обвинитель: Если подсудимый виновен, то у него был сообщник.

Защитник: Неверно!

Ничего хуже защитник сказать не мог. Почему?

6. По обвинению в ограблении перед судом предстали А, В и С. Они заявили следующее:

А: Если я или В виновны, то С виновен

В: Я не виновен, но А или С виновны.

С: Ни один из нас не виновен.

При этом стало известно, что А и В сказали правду, а С солгал. В свете этого факта, чья виновность и чья невиновность не вызывают сомнений и чья виновность остается под вопросом?

7. Я люблю по крайней мере одну из трех девушек Марину, Ирину или Анну. Если я люблю Ирину, а не Анну, то я также люблю Марину. Я или люблю Анну и Марину или не люблю их обеих. Если я люблю Анну, то я люблю и Ирину. Кого из девушек я люблю?