- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
Преобразование степенной функции вида
(1.89)
с целью установления значений постоянных коэффициентов а и b (у и х – переменные величины) также предусматривает логарифмирование:
, (1.90)
в результате чего получаются нормальные уравнения, решение которых приведено выше. Таким образом, для определения постоянных коэффициентов в этих уравнениях необходимо решить систему нормальных уравнений
. (1.91)
Рассмотрим пример сглаживания степенной функцией для данных, приведенных в примере 1.14.
Пример 1.16. выполнить сглаживание данных, приведенных в примере 1.14, степенной функцией.
Решение.
Степенная функция имеет вид:
. (1.92)
Система нормальных уравнений (1.91) преобразуется соотвественно к виду:
. (1.93)
Составим таблицу для вычисления соответствующих сумм для уравнений (1.93).
Таблица 1.16
Показатели разведки
Число классов содержания – 8; h = 14 г/м3
№№ классов |
Мощность m, м |
lgm |
(lgm)2 |
Содержание С, г/м3 |
lgC |
lgC·lgm |
1 |
0,4 |
-0,39794 |
0,15836 |
99 |
1,99564 |
-0,79414 |
2 |
1,4 |
0,14613 |
0,02135 |
87 |
1,93952 |
0,28342 |
3 |
2,0 |
0,30103 |
0,09062 |
75 |
1,87506 |
0,56445 |
4 |
2,8 |
0,44716 |
0,19995 |
63 |
1,79934 |
0,80459 |
5 |
3,2 |
0,50515 |
0,25518 |
51 |
1,70757 |
0,86258 |
6 |
3,2 |
0,50515 |
0,25518 |
39 |
1,59106 |
0,80373 |
7 |
3,6 |
0,55630 |
0,30947 |
27 |
1,43136 |
0,79627 |
8 |
4,2 |
0,62325 |
0,38844 |
15 |
1,17609 |
0,78300 |
|
20,8 |
2,68623 |
1,67855 |
456 |
13,51564 |
4,05390 |
Получим систему нормальных уравнений
8 lga + 2,68623 b = 13,51564;
2,68623 lga +1,67855 b = 4,05390. (1.94)
Решая данную систему уравнений получим:
lga = 1,89890 (a = 79,23); b = -0,62375 = -0,624.
Таким образом, сглаживающая степенная функция имеет вид:
. (1.95)
Сглаживающая степенная функция представлена на рис. 1.8.
1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
Для сглаживания эмпирических данных используется параболическая функция общего вида:
, (1.96)
в которой х и у являются переменными, а а, b и с – постоянными величинами.
Для определения постоянных коэффициентов уравнения (1.96) необходимо решить систему нормальных линейных уравнений:
(1.97)
Рассмотрим пример сглаживания с помощью параболической функции.
Пример 1.17. Выполнить сглаживание данных функцией параболического вида, представленных в табл. 1.14.
Решение.
Сглаживающая параболическая функция имеет вид:
. (1.98)
Для определения постоянных коэффициентов необходимо выполнить решение системы линейных уравнений вида:
(1.99)
Составим таблицу соответствующих сумм для решения уравнений (1.99).
Таблица 1.17
Показатели разведки
Число классов содержания – 8; h = 14 г/м3
№№ классов |
Мощность m, м |
m2 |
m3 |
m4 |
Содержание С, г/м3 |
Cm |
Cm2 |
1 |
0,4 |
0,16 |
0,064 |
0,0256 |
99 |
39,6 |
15,84 |
2 |
1,4 |
1,96 |
2,744 |
3,8416 |
87 |
121,8 |
170,52 |
3 |
2,0 |
4,00 |
8,000 |
16,0000 |
75 |
150,0 |
300,00 |
4 |
2,8 |
7,84 |
21,952 |
61,4656 |
63 |
176,4 |
493,92 |
5 |
3,2 |
10,24 |
32,768 |
104,8576 |
51 |
163,2 |
522,24 |
6 |
3,2 |
10,24 |
32,768 |
104,8576 |
39 |
124,8 |
399,36 |
7 |
3,6 |
12,96 |
46,656 |
167,9616 |
27 |
97,2 |
349,92 |
8 |
4,2 |
17,64 |
74,088 |
311,1696 |
15 |
63,0 |
264,60 |
|
20,8 |
65,04 |
219,04 |
770,1792 |
456 |
936,0 |
2516,40 |
Cоставим линейные уравнения:
8 с + 20,8 b + 65,04 a = 456,
20,8 c + 65,04 b + 219,04 a = 936,0 , (1.100)
65,04 c + 219,04 b + 770,1792 a = 2516,40 .
Из решения уравнений (1.100) получим:
а = -3,86391 = -3,86; b = -5,16902 = -5,17; с = +101,853 = +101,85.
Таким образом, сглаживающая параболическая функция имеет вид:
С = -3,86 m2 – 5,17 m + 1012,85. (1.101)
Сглаживающая параболическая функция представлена на рис. 1.8.