4.5. Геометрические условия в геодезических построениях

Если геодезические или маркшейдерские построения состоят только из необходимых исходных данных, то такое построение (сеть) называется свободным (свободной) и уравниванию не подлежит. При наличии избыточных измерений построение (сеть) называется несвободным (несвободной), и в нем (ней) может быть выполнено уравнивание при наличии невязок, определяемых выполнением тех или иных условий в геометрических связях.

При уравнивании геодезических и маркшейдерских построений необходимо правильно определить число и вид т.н. условных уравнений. В связи с этим должны быть составлены только необходимые условия, не больше. В противном случае система уравнений не может быть разрешима. Меньшее же число условий вообще исключает решение задачи уравнивания, поскольку хотя бы одна из невязок будет исключена из рассмотрения.

Далее приведем основные геометрические условия, которые могут определять вид того или иного условного уравнения связи в геодезическом (маркшейдерском) построении.

4.5.1. Условие фигуры

В замкнутой фигуре, имеющей n вершин, сумма уравненных значений измеренных углов должна быть равна 180^о (n ± 2), т.е.,

, (4.102)

где знак «плюс» - для внешних, знак «минус» - для внутренних углов; β' - исправленные (уравненные) углы.

В этом случае условное уравнение поправок имеет вид:

, (4.103)

где β_i - измеренные углы.

Поскольку два последних слагаемых образуют т.н. угловую невязку W , т.е.

, (4.104)

то выражение (4.103) можно представить в виде:

. (4.105)

Выражение (4.104) и является геометрическим соотношением (уравнением связи для условия фигуры).

Если в той же замкнутой фигуре углы заменить разностями направлений (т.е. отсчетов по горизонтальному кругу теодолита), то получается условное уравнение поправок для измеренных направлений:

. (4.106)

4.5.2. Условие горизонта

Сумма уравненных значений неперекрывающихся углов, измеренных независимо (т.е. отдельно друг от друга) вокруг одной вершины (рис. 4.1), должна быть равна 360⁰ , т.е.,

. (4.107)

Рис. 4.1. Условие горизонта

Условное уравнение поправок горизонта имеет вид (4.105), где

(4.108)

для измеренных углов β_i.

Для измеренных направлений условие горизонта не возникает, поскольку в этом случае всегда сумма углов, вычисленных по разностям направлений, будет равна 360⁰ (зависимые измерения). Если же в измеренные углы ввести поправки, то и для направлений может возникнуть условие горизонта. Поэтому условные уравнения поправок со свободным членом, равным нулю, необходимо включать в уравнивание.

4.5.3. Условие суммы углов

Для измеренных в одной вершине углов β₁, β₂, β₃ и β₄ (рис. 4.2) должно соблюдаться следующее геометрическое условие:

β ₁^' + β₂^' + β₃^' – β₄^' = 0. (4.109)

Рис. 4.2. Условие суммы углов

В этом случае условное уравнение поправок будет иметь вид:

, (4.110)

где W_β – свободный член уравнения, определяемый суммой

. (4.111)