1.1.4. Вероятность события

Вероятность события характеризуется качественной мерой степени объективной возможности появления события при данном опыте. Для каждого из событий указанная качественная мера при многократных испытаниях проявляет устойчивость или ту или иную закономерность.

Предположим, что при n испытаниях какое-либо событие i появилось k раз. Относительная величина

(1.1)

характеризует относительную частоту (или частость) появления события i; при этом характеризует полную группу событий; k – частота появления события.

Параметр r_i принимает значения от нуля до единицы:

. (1.2)

При неограниченном числе испытаний (на практике – понятие абстрактное) вероятность p определяется отношением числа K_i благоприятствующих элементарных исходов к общему числу N возможных элементарных исходов:

. (1.3)

Если вероятность какого-либо события близка к единице, то такое событие называют достоверным. Если же вероятность события близка к нулю, то такое событие называют невозможным. В пределе вероятность достоверного события

, (1.4)

а вероятность недостоверного (невозможного) события

. (1.5)

Вероятность, как и относительная частота, всегда положительное число:

0 < р < 1 , (1.6)

а вероятность любого события i удовлетворяет неравенству

, (1.7)

при этом сумма

. (1.8)

Далее условимся обозначать вероятность случайной величины прописными буквами Р(Х), Р(Y), Р(Z) и т.д., а вероятность отдельного измерения – строчными буквами: р_i, p(x)_i , p(y)_i и т.п.

1.2. Вариационные ряды

Любой объект наблюдений характеризуется теми или иными качественными признаками. Например, месторождение полезного ископаемого характеризуется несколькими качественными признаками, в частности, распределением содержания по площади (объему), распределением мощности залежи, вертикального запаса и т.п. Количество полученных при измерениях показателей одного из признаков образует статистическую совокупность или статистический коллектив. Значения показателей х₁ , х₂ , … , х_n называют вариантами, а все поле значений показателя – вариационным рядом. Число n всех элементов вариационного ряда называют объемом совокупности.

Поскольку каждый из элементов х_i вариационного ряда имеет свою частоту k_i появления (или относительную частоту r_i), то расположив, например, значения х_i в возрастающем порядке [x_i ; k_i] или [x_i ; r_i], получим т.н. упорядоченный вариационный ряд, характеризующий распределение признака.

Для исследования распределения признака упорядоченные вариационные ряды представляют в виде интервального ряда группировкой отдельных последовательных элементов в ограниченном интервале непрерывно по всему ряду. В этом случае элементом интервального вариационного ряда является среднее значение х_Оi признака в интервале с указанием частоты k_Oi (количества элементов в интервале) или с указанием относительной частоты (частости) r_Oi : [x_Oi ; k_Oi] или [x_Oi ; r_Oi]. Каждый из интервалов i называют классом.

Очевидно, что разбивка упорядоченного вариационного ряда на большое число классов (интервалов) может привести к потере информации о распределении признака, поскольку могут появиться «пустые» интервалы из-за ограниченного числа испытаний. При малом числе классов распределение признака может оказаться малоинформативным или недостаточным для установления вида распределения.

Оптимальное число классов, на которое разбивается тот или иной упорядоченный вариационный ряд, на практике определяется по нескольким соотношениям, в том числе и исходя из опыта исследователя. Часто число классов К определяется по формулам Стерджесса:

; , (1.9)

по формуле Хайнхольда и Гаеде

, (1.10)

по формуле Брукса и Каррузера

. (1.11)

На практике часто используют для оценки числа классов следующее выражение:

. (1.12)

После определения числа классов окончательное их число рекомендуют выбирать нечетным. Более это важно при небольших числах классов: 5 – 7.

Ширину классового интервала h вычисляют после оценки и назначения числа классов по формуле

, (1.13)

где х_max и х_min – соответственно максимальное и минимальное значения элементов упорядоченного вариационного ряда.

Часто, при весьма неравномерных распределениях, исследуют распределение вариационных рядов, составленных не фактическими значениями признака, а, например, логарифмами этих значений. В этом случае для определения ширины классового интервала также используется формула (1.13), но для максимального и минимального логарифмов значений признака. В таких случаях, в отличие от использования формулы (1.13), ширина классового интервала в фактических единицах получается различной в зависимости от величины признака: чем больше значение признака, тем шире классовый интервал в фактических его единицах измерения.

Рассмотрим пример разбивки вариационного ряда на классы с использованием приведенных формул.

Пример 1.1. На площади выполнена разведка месторождения полезного ископаемого буровым способом на содержание С(г/м³) полезного компонента по 80 разведочным скважинам (см. табл. 1.1). Максимальное значение содержания С_max = 886 г/м³, минимальное значение содержания С_min = 64 г/м³.

Определить и назначить число классов К и вычислить ширину h классового интервала.

Решение.

Найдем (оценим) число классов упорядоченного вариационного ряда:

- по формуле Стерджесса (1): К = 1 + 3,2 lg80 = 7,09;

- по формуле Стерджесса (2): К = 1 + log₂80 = 7,32;

- по формуле Хайнхольда и Гаеде: К = = 8,94;

- по формуле Брукса и Каррузера: К = 5lg80 = 9,52;

- по формуле (1.12): 0,55 · 80^0,4 = 3,17; 1,25 · 80^0,4 = 7,21; (от 4-х до 8-ми).

Как видим, в большинстве случаев получаются практически одинаковые рекомендации для данного объема совокупности (n = 80). Исключение, пожалуй, составляет использование формулы (1.12), по которой в среднем получается рекомендация по разбивке на 5 или 6 классов.

Построим упорядоченный вариационный ряд (табл. 1.2) и разобьем его на классы.

Для примера обработки вариационных рядов, с целью сопоставления различных вариантов разбивки, назначена разбивка приведенного вариационного ряда на 6, 7 и 8 классов, что отражено в табл. 1.2.

Таблица 1.1

Данные разведки на содержание

№№ разв.линий №№ разв.свкажин	РЛ№1	РЛ№2	РЛ№3	РЛ№4	РЛ№5	РЛ№6	РЛ№7	РЛ№8
1	121	116	168	155	138	64	72	136
2	251	256	261	285	258	264	272	226
3	231	383	268	213	416	487	307	243
4	368	438	326	356	379	371	736	511
5	400	309	456	588	690	652	388	441
6	105	376	565	405	563	781	291	393
7	83	240	538	675	886	578	342	468
8		151	433	775	621	848	273	385
9		147	264	633	437	524	172	238
10			186	473	547	217	157	106
11			136	283	238
12				211
Число скважин Всего n = 80	7	9	11	12	11	10	10	10

По формуле (1.13) найдем ширину классового интервала для каждой из разбивок с округлением до целой единицы:

h₍₆₎ = (886 – 64) : 6 = 137 г/м³;

h₍₇₎ = (886 – 64) : 6 = 117,43 = 117 г/м³;

h₍₈₎ = (886 – 64) : 6 = 102,75 = 103 г/м³.

Минимальную границу 1-го класса рекомендуют устанавливать по значению ( ) либо за минимальную границу 1-го класса принимать x_min.

Воспользуемся второй рекомендацией.

Для определения границ классовых интервалов необходимо выполнить вычисление в указанной последовательности:

;

; (1.14)

;

и т.д.

Средние значения для интервалов определяют по фомулам:

;

; (1.15)

и т.д.

Результаты вычислений представлены в табл. 1.2. Для каждого из классов указаны средние значения параметра в классе и частота, соотвествующая этому классу.

В табл. 1.3, 1.4 и 1.5 приведена выборка данных из табл. 1.2 с дополнительными данными по величинам относительных частот (частостей) r. В такой форме чаще всего и задают интервальные вариационные ряды.

В приведенных таблицах верхние границы интервалов определены последовательно с шагом h. Нижние границы интервалов на единицу меньше. В пределах значащей цифры в данном случае, при сравнительно больших значениях параметра, такое округление результатов допустимо.

Таблица 1.2

Разбивка на классы упорядоченного вариационного ряда

№№ п/п	Упорядоченный вариационный ряд, С (г/м^3)	Разбивка на 6 классов	Упорядоченный вариационный ряд, С (г/м^3)	Разбивка на 7 классов	Упорядоченный вариационный ряд, С (г/м^3)	Разбивка на 8 классов
1	64	132 17	64	122 16	64	116 14
2	72		72		72
3	83		83		83
4	105		105		105
5	106		106		106
6	116		116		116
7	121		121		121
8	136		136		136
9	136		136		136
10	138		138		138
11	147		147		147
12	151		151		151
13	155		155		155
14	157		157		157
15	168		168		168	219 19
16	172		172		172
17	186		186	239 22	186
18	211	269 24	211		211
19	213		213		213
20	217		217		217
21	226		226		226
22	231		231		231
23	238		238		238
24	238		238		238
25	240		240		240
26	243		243		243
27	251		251		251
28	256		256		256
29	258		258		258
30	261		261		261
31	264		264		264
32	264		264		264
33	268		268		268
34	272		272		272	322 12
35	273		273		273
36	283		283		283
37	285		285		285
38	291		291		291
39	307		307	356 16	307
40	309		309		309
41	326		326		326
42	342	406 20	342		342
43	356		356		356
44	368		368		368
45	371		371		371
46	376		376		376	425 16
47	379		379		379
48	383		383		383
49	385		385		385
50	388		388		388
51	393		393		393
52	400		400		400
53	405		405		405
54	416		416		416
55	433		433	473 10	433
56	437		437		437
57	438		438		438
58	441		441		441
59	456		456		456
60	468		468		468
61	473		473		473
62	487	543 9	487		487	528 8
63	511		511		511
64	524		524		524
65	538		538	590 9	538
66	547		547		547
67	563		563		563
68	565		565		565
69	578		578		578
70	588		588		588	631 5
71	621	680 6	621		621
72	633		633		633
73	652		652		652
74	675		675	707 3	675
75	690		690		690	734 4
76	736		736		736
77	775	817 4	775	824 4	775
78	781		781		781
79	848		848		848	837 2
80	886		886		886

Примечание к табл. 1.2: в таблице для удобства выделены нечетные номера классов.

Таблица 1.3

Характеристика интервального ряда (К = 6 классов)

№№ интервалов	Интервал содержания в классе, С (г/м^3)	Cреднее значение содержания в интервале, С (г/м^3)	Количество элементов в интервале (частота), k	Относительная частота (частость), r
1	64 – 201	132	17	0,21
2	202 – 338	269	24	0,30
3	339 – 475	406	20	0,25
4	476 – 612	543	9	0,11
5	613 – 749	680	6	0,08
6	750 – 886	817	4	0,05
			80	1,00

Таблица 1.4

Характеристика интервального ряда (К = 7 классов)

№№ интервалов	Интервал содержания в классе, С (г/м^3)	Cреднее значение содержания в интервале, С (г/м^3)	Количество элементов в интервале (частота), k	Относительная частота (частость), r
1	64 – 181	122	16	0,20
2	182 – 298	239	22	0,28
3	299 – 415	356	15	0,19
4	416 – 532	473	11	0,14
5	533 – 649	590	8	0,10
6	650 – 766	707	4	0,05
7	767 – 883	824	4	0,05
			80	1,01

Примечание к табл. 1.4: в таблице сумма частостей не получилась равной единице из-за округлений.

Таблица 1.5

Характеристика интервального ряда (К = 8 классов)

№№ интервалов	Интервал содержания в классе, С (г/м^3)	Cреднее значение содержания в интервале, С (г/м^3)	Количество элементов в интервале (частота), k	Относительная частота (частость), r
1	64 – 167	116	14	0,18
2	168 – 270	219	19	0,24
3	271 – 373	322	12	0,15
4	374 – 476	425	16	0,20
5	477 – 579	528	8	0,10
6	580 – 682	631	5	0,06
7	683 – 785	734	4	0,05
8	786 - 888	837	2	0,02
			80	1,00