2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
Одновременное влияние двух факторов исследуется методом двухфакторного дисперсионного анализа.
Рассотрим менее трудоемкий случай, когда по одному из факторов выполнено r серий измерений по n измерений в каждой серии, а по второму фактору выполнено k серий измерений по rn измерений в каждой серии, сгруппированных по каждой из r серий.
В общем случае как количество измерений n в сериях r, так и, соответственно, количество измерений в сериях k, может быть различным.
Для выполнения расчетов составляют статистическую таблицу двухфакторного дисперсионного анализа (см. табл. 2.8), в данном случае предусматривающую одинаковое число n измерений в сериях r, а также одинаковое число измерений rn в сериях k.
Вычисляют и заносят в таблицу следующие средние значения измеренных параметров:
- среднее значение параметра по ячейке:
;
(2.39)
- среднее значение параметра по столбцу (по 1-му фактору):
;
(2.40)
- среднее значение параметра по строке (по 2-му фактору):
;
(2.41)
- общее среднее по параметрам всей совокупности (по одной из приведенных формул):
.
(2.42)
Для анализа используют следующие оценки дисперсий:
- общую дисперсию:
;
(2.43)
- дисперсию для выявления эффекта столбца (1-го фактора):
;
(2.44)
- дисперсию для выявления эффекта строки (2-го фактора):
;
(2.45)
Таблица 2.8
Статистическая таблица двухфакторного дисперсионного анализа
(2)j→ (1)i↓ |
xi1 |
xi2 |
... |
xij |
... |
xik |
Средние по 2-му фактору |
x1j |
x111 x112 ... x11l ... x11n |
x121 x122 ... x12l ... x12n |
... ... ... ... ... ... |
x1j1 x1j2 ... x1jl ... x1jn |
... ... ... ... ... ... |
x1k1 x1k2 ... x1kl ... x1kn |
|
Средние |
xo11 |
xo12 |
... |
xo1j |
... |
xo1k |
xo1(2) |
x2j |
x211 x212 ... x21l ... x21n |
x221 x222 ... x22l ... x22n |
... ... ... ... ... ... |
x2j1 x2j2 ... x2jl ... x2jn |
... ... ... ... ... ... |
x2k1 x2k2 ... x2kl ... x2kn |
|
Средние |
xo21 |
xo22 |
... |
xo2j |
... |
xo2k |
xo2(2) |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
… |
xij |
xi11 xi12 ... xi1l ... xi1n |
xi21 xi22 ... xi2l ... xi2n |
... ... ... ... ... ... |
xij1 xij2 ... xijl ... xijn |
... ... ... ... ... ... |
xik1 xik2 ... xikl ... xikn |
|
Средние |
xoi1 |
xoi2 |
... |
xoij |
... |
xoik |
xoi(2) |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
… |
xrj |
xr11 xr12 ... xr1l ... xr1n |
xr21 xr22 ... xr2l ... xr2n |
... ... ... ... ... ... |
xrj1 xrj2 ... xrjl ... xrjn |
... ... ... ... ... ... |
xrk1 xrk2 ... xrkl ... xrkn |
|
Средние |
xor1 |
xor2 |
... |
xorj |
... |
xork |
xor(2) |
Средние по 1-му фактору |
xo1(1) |
xo2(1) |
... |
xoj(1) |
... |
xok(1) |
Общее среднее xo |
- дисперсию для выявления эффекта взаимодействия между сериями (остаточную дисперсию):
;
(2.46)
- дисперсию для выявления общего эффекта взаимодействия между сериями:
;
(2.47)
- дисперсию для выявления эффекта внутри серии:
.
(2.48)
Анализ проводится для следующих соотношений:
- для выявления влияния 1-го и 2-го факторов на средние значения изучаемых параметров:
,
;
(2.49)
- для выявления отличий средних значений между сериями наблюдений по столбцам (1-й фактор) и строкам (2-й фактор):
;
(2.50)
- для выявления отличий средних значений между сериями наблюдений в общем:
.
(2.51)
Для приведенных F-статистик используются следующие числа степеней свободы:
;
; (2.52)
;
.
Пример 2.11. Завод выполнил испытания пяти геодезических приборов одного класса точности (А, Б, В, Г, Д) для линейных измерений при различных температурных режимах: t1 = -25oC , t2 = -15oC, t3 = -5oC, t4 = +5oC, t5 = +15oC, t6 = +25oC. При каждом испытании при соответствующем установившемся температурном режиме было выполнено по 5 измерений (n = 5) каждым прибором базиса длиной 1423,736 м. Результаты измерений представлены в табл. 2.9. (В ячейках таблицы даны только значения полученных расстояний в изменяющейся их части).
Решение.
Предварительно вычисляем значения средних и записываем их в соответствующие ячейки табл. 2.9.
По формуле (2.43) вычисляем общую дисперсию: Dобщ = 12,95.
По формуле (2.44) вычисляем дисперсию, характеризующую влияние 1-го фактора: D(1) = 21,55.
По формуле (2.45) находим значение дисперсии, характеризующей влияние 2-го фактора: D(2) = 47,28.
Вычисляем по формуле (2.46) значение остаточной дисперсии, характеризующей эффект взаимодействия между сериями: Dост = 51,86.
Вычисляем по формуле (2.47) дисперсию, характеризующую общий эффект взаимодействия между сериями: Dii = 48,02.
По формуле (2.46) находим значение дисперсии, характеризующей значимость серий: Dll = 4,48.
Таблица 2.9
К примеру 2.11
(2)j→ (1)i↓ |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Средние по 2-му фактору |
t1 |
38 39 37 40 37 |
30 32 33 34 32 |
38 33 36 33 34 |
34 37 39 34 32 |
38 39 44 37 41 |
|
Средние |
38,2 |
32,2 |
34,8 |
35,2 |
39,8 |
36,04 |
t2 |
31 38 36 35 34 |
42 40 36 36 37 |
40 36 43 39 37 |
36 35 41 38 37 |
30 36 31 35 31 |
|
Средние |
34,8 |
38,2 |
39,0 |
37,4 |
32,6 |
36,40 |
t3 |
31 36 35 33 32 |
34 35 39 33 37 |
40 39 42 41 40 |
41 38 38 41 40 |
32 35 36 34 31 |
|
Средние |
33,4 |
35,6 |
40,4 |
39,6 |
33,6 |
36,52 |
t4 |
27 33 31 28 30 |
31 32 30 34 35 |
34 36 35 35 38 |
40 36 39 36 34 |
35 36 37 38 36 |
|
Средние |
29,8 |
32,4 |
35,6 |
37,0 |
36,4 |
36,24 |
t5 |
34 30 31 36 34 |
42 41 43 44 40 |
31 30 29 35 28 |
32 30 33 33 31 |
33 34 37 34 33 |
|
Средние |
33,0 |
42,0 |
30,6 |
31,8 |
34,2 |
34,32 |
t6 |
31 33 32 33 30 |
30 32 31 36 33 |
34 32 30 32 33 |
34 34 35 35 36 |
30 35 35 36 30 |
|
Средние |
31,8 |
32,4 |
32,2 |
34,8 |
33,2 |
32,88 |
Средние по 1-му фактору |
33,50 |
35,47 |
35,43 |
35,97 |
34,97 |
Общее среднее xo = 35,07 |
Находим F-статистики по формулам (2.49) – (2.51):
;
;
;
.
Пользуясь таблицей приложения 8 , с учетом числа степеней свободы, определяемых выражениями (2.52), найдем критические значения F-статистик:
F1кр(4;20) = 2,87, F2кр(5;20) = 2,74, F3кр(29;20) = 2,07, F4кр(120;20) = 2,87.
Находим F-статистики по формулам (2.49) – (2.51):
; ; ; .
Пользуясь таблицей приложения 8, с учетом числа степеней свободы, определяемых выражениями (2.52), найдем критические значения F-статистик:
F1кр(4;20) = 2,87, F2кр(5;20) = 2,74, F3кр(29;20) = 2,07, F4кр(120;20) = 2,87.
Поскольку вычисленные значения F-статистик оказались меньше критических значений, то принимаем следующие решения:
- отклонения средних значений параметра по фактору 1 (изменение тмпературы) являются случайными, т.е. в указанном диапазоне температур точностные характеристики приборов не изменяются;
- отклонения средних значений параметра по фактору 2 (различные приборы) являются случайными, т.е. все исследуемые приборы можно считать одинаковыми по точности измерений.