4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода

На местности пройден одиночный полигонометрический ход (рис. 4.9) между исходными линиями АВ и СD.

Координаты исходных пунктов В и С и дирекционные углы исходных направлений:

Х_В = 8365,344 м ; Х_С = 9592,268 м ; α_АВ = 137° 13'16,4";

У_В = 5240,647 м ; У_С = 7556,681 м ; α_СD = 100° 58'45,8".

Значения измеренных величин, горизонтальных углов и расстояний, приведены в табл. 4.11.

Рис. 4.9. Схема полигонометрического хода

Таблица 4.11

Исходные данные

№№ точек	Обозначение горизонтальных углов, βi	Значения горизонтальных углов			Обозначение расстояний, si	Значения расстояний, м
В	β1112^о 36'45,4"		s1	1245,638
1	β2213^о 02'16,8"		s2	963,017
2	β’	88^о 44'26,7"			s3	1033,151
С	β4269^о 22'04,0"

Точность результатов измерений: горизонтальных углов: m_β = 2,0"; расстояний m_s = 14,5 мм на 1000 м.

Требуется найти уравненные значения координат точек 1 и 2.

Решение примера.

Выполним предварительные вычисления в полигонометрическом ходе (см. табл. 4.12), т.е. по результатам измерений вычислим предварительные значения координат точек 1 и 2, а также координаты точки С^о.

Таблица 4.12

Предварительные вычисления в полигонометрическом ходе

№№ точек	Гориз.углы β	Дирекц.углы α	Рассто-яния s , м	Приращения координат, м		Координаты, м		№3 точек
А								A
		137^о 13'16,4"
В	112^о 36'45,4"					8365,344	5240,647	B
		69^о 50'01,8"	1245,638	+429,426	+1169,276
1	213^о 02'16,8"					8794,770	6409,923	1
		102^о 52'18,6"	963,017	-214,532	+938,817
2	88^о 44'26,7"					8580,238	7348,740	2
		11^о 36'45,3"	1033,151	+1012,003	+207,966
С	269^о 22'04,0"					9592,241	7556,706	C^о
		100^о 58'49,3"
D

Вычислим веса p_i измеренных величин. В полигонометрическом ходе считаем измерения углов равноточными, т.е. p_βi = 1. Значения средних квадратических ошибок для измеренных расстояний определим как

Значения весов и обратных весов измеренных расстояний определим по формуле (3.45):

Присвоим номера измеренным величинам (табл. 4.13).

Таблица 4.13

Значения весов и обратных весов измеренных величин

Обозначение	1	2	3	4	5	6	7
	β 1	β 2	β 3	β 4	s1	s2	s3
pi	1	1	1	1	1,221	2,041	1,778
qi	1	1	1	1	0,819	0,490	0,562

Шаг 1. Общее число измерений n = 7. Число необходимых измерений k = 4 (например, 1, 2, 5 и 6 – табл. 4.13). Число избыточных измерений r = 3.

Шаг 2. Составим r = 3 условных уравнения:

- условие дирекционных углов:

(4.144)

- условие координат (для абсцисс и ординат):

(4.145)

Шаг 3. Приведем условные уравнения к линейному виду, для чего продифференцируем данные функции по переменным β_i, s_i и α_i (последние – зависящие от β_i ).

Рассмотрим здесь несколько подробнее процесс получения условных уравнений поправок.

После дифференцирования получим условные уравнения поправок:

- для дирекционных углов:

, (4.146)

где ; невязка W_β или свободный член уравнения –

(здесь α_CD⁰ – вычисленное значение дирекционного угла из табл. 4.12 в предварительной обработке полигонометрического хода);

- для абсцисс:

(4.147)

где невязка (здесь х_С⁰ – вычисленное значение координаты точки С из предварительной обработки полигонометрического хода, табл. 4.12);

- для ординат:

(4.148)

где невязка (здесь y_C⁰ – вычисленное значение координаты точки С из предварительной обработки полигонометрического хода, табл. 4.12).

Вычислим свободные члены уравнений, пользуясь исходными данными и результатами предварительной обработки полигонометрического хода:

W₁ = W_β = 100° 58'49,3" – 100° 58' 45,8''= +0,5";

W₂ = W_x = 9592,241 – 9592,268 = - 0,027 м = - 2,7 см;

W₃ = W_y = 7556,706 – 7556,681 = + 0,025 м = + 2,5 см.

Поправка v_αi в текущее значение дирекционного угла равна сумме поправок углов β, использующихся для его вычисления, т.е.

. (4.149)

С учетом этого, а также предыдущих выражений, запишем окончательные условные уравнения поправок в общем виде:

(4.150)

где ρ – угловая мера радиана.

В уравнениях (4.150) для удобства значения 1/ ρ увеличивают в 100000 раз, а разности координат уменьшают в то же число раз, т.е. выражают в километрах.

В развернутом виде уравнения (4.150) для рассматриваемого в примере полигонометрического хода имеют вид:

(4.151)

Составим таблицу (табл. 4.14) значений разностей координат и тригонометрических функций дирекционных углов по данным табл. 4.12, необходимую для вычисления коэффициентов a_ij.

Таблица 4.14

Разности координат (км) и значения тригонометрических функций

дирекционных углов

№№ точек	Значения sin и cos дирекционных углов		Значения разностей координат, км
	Cos α	Sin α	xC^0 – xi^0	yC^0 – yi^0
B			+1,2269 (В)	+2,3161(В)
	+0,3447	+0,9387	+0,7975 (1)	+1,1468 (1)
1
	- 0,2228	+0,9749	+1,0120 (2)	+0,2080 (2)
2
	+0,9795	+0,2013
C

C учетом приведенных в табл. 4.14 значений коэффициентов и значений свободных членов получим окончательный вид условных уравнений поправок, соответствующих выражениям (4.151):

(4.152)

Составим матрицу коэффициентов a_ij и обратных весов q_i (табл. 4.15).

Таблица 4.15

Матрица коэффициентов a_ij и обратных весов

i→ j ↓	1	2	3	4	5	6	7
1	+1	+1	+1	+1	0	0	0
2	+1,1229	-0,5560	-0,1008		+0,3447	-0,2228	+0,9795
3	+0,5948	+0,3866	+0,4906		+0,9387	+0,9749	+0,2013
qi	1	1	1	1	0,819	0,490	0,562

Шаг 4. По правилам и схеме, приведенным в разделе 3, вычислим коэффициенты нормальных уравнений коррелат. Сначала представим указанные уравнения коррелат в общем для приводимого примера виде:

1. (q₁a₁₁² + q₂a₂₁² + q₃a₃₁² + q₄a₄₁²)k₁ + (q₁a₁₁a₁₂ + q₂a₂₁a₂₂ +q₃a₃₁a₃₂)k₂ + +(q₁a₁₁a₁₃ + q₂a₂₁a₂₃ + q₃a₃₁a₃₃)k₃ + W₁ = 0;

2. (q₁a₁₂a₁₁ + q₂a₂₂a₂₁ +q₃a₃₂a₃₁)k₁ + (q₁a₁₂² + q₂a₂₂² + q₃a₃₂² + q₅a₅₂² + q₆a₆₂² + q₇a₇₂²)k₂ + (q₁a₁₂a₁₃ + q₂a₂₂a₂₃ + q₃a₃₂a₃₃ + q₅a₅₂a₅₃ + q₆a₆₂a₆₃ + q₇a₇₂a₇₃)k₃ +

+ W₂ = 0;

3. (q₁a₁₃a₁₁ + q₂a₂₃a₂₁ +q₃a₃₃a₃₁)k₁ + (q₁a₁₃a₁₂ + q₂a₂₃a₂₂ + q₃a₃₃a₃₂ + q₅a₅₃a₅₂ + +q₆a₆₃a₆₂ + q₇a₇₃a₇₂)k₂ + (q₁a₁₃² + q₂a₂₃² + q₃a₃₃² + q₅a₅₃² + q₆a₆₃² + q₇a₇₃²)k₃ +

+ W₃ = 0.

(4.153)

После подстановки значений a_ij, q_i и W_j получим:

1. +4 k₁ – 2,6869k₂ + 1,4720k₃ + 3,5 = 0;

2. – 2,6869k₁ + 3,2469 k₂ – 1,1080k₃ – 2,7 = 0; (4.154)

3. 1,4720 k₁ – 1,1080 k₂ + 1,9541 k₃ + 2,5 = 0.

Из решения системы линейных уравнений по правилам, изложенным в разделе 6, получим: k₁ = - 0,4489; k₂ = +0,1722; k₃ = - 0,8436.

Контрольные вычисления по исходным уравнениям (4.154) удовлетворяют указанным условиям.

Шаг 5. Составим и решим условные уравнения поправок, пользуясь данными табл. 4.15:

1. v₁ = v_β1 = q₁(k₁ – 1,1229 k₂ + 0,5948 k₃) = -1,14'' ≈ -1,1'';

2. v₂ = v_β2= q₂(k₁ – 0,5560k₂ + 0,3866 k₃) = -0,87'' ≈ -0,9'';

3. v₃ = v_β3 = q₃ (k₁ – 1,1080k₂ + 0,4906 k₃) = -1,05'' ≈ -1,1'';

4. v₄ = v_β4= q₄ k₁ = -0,45'' ≈ -0,4'';

5. v₅ = v_s1 = q₅ (+ 0,3447 k₂ + 0,9387 k₃) = - 0,60 см = - 6 мм ;

6. v₆ = v_s2 = q₆ (-0,2228 k₂ + 0,9749 k₃) = - 0,42 cм = - 4 мм ;

7. v₇ = v_s3 = q₇ (+ 0,9795 k₂ + 0,2013 k₃) = 0,0 cм = 0 мм.

Контроль выполняется подстановкой полученных значений в уравнения поправок (4.152). Отклонения в приводимом примере от условий можно считать незначительными.

Шаг 6. Вычислим уравненные значения измеренных величин, округлив поправки в углы до 0,1", поправки в длины линий – до 1мм.

β'₁ = 112^о36'45,4" – 1,1" = 112^о36'44,3";

β'₂ = 213^о02'16,8" - 0,9" = 213^о02'15,9";

β'₃ = 88^о44'26,7" - 1,1" = 88^о44'25,6";

β'₄ = 269^о22'04,0" - 0,4" = 269^о22'03,6";

s'₁ = 1245,638 – 0,006 = 1245,634 м;

s'₂ = 963,017 – 0,004 = 963,013 м;

s'₃ = 1033,151 + 0,000 = 1033,151 м.

Составим ведомость уравнивания (табл. 4.16).

Как видно, после уравнивания получились остаточные невязки W_x = 9592,259 – 9592,268 = - 9 мм; W_у = 7556,681 – 7556,681 = 0 мм. Угловая невязка равна нулю. Это является результатом ощутимой нелинейности исходных условных уравнений, т.е. ограничение первым членом разложения функций в ряд Тейлора оказалось недостаточным. В таких случаях выполняют повторное уравнивание, считая полученные после первого уравнивания невязки исходными (W_β = 0; W_x = - 0,9 см; W_у = 0,0 см), а вычисления в табл. 4.16 – предварительными.

Таблица 4.16

Ведомость уравнивания (1-е приближение)

№№ точек	Гориз.углы β	Дирекц.углы α	Рассто-яния s , м	Приращения координат, м		Координаты, м		№3 точек
А								A
		137^о 13'16,4"
В	112^о 36'44,3"					8365,344	5240,647	B
		69^о 50'00,7"	1245,632	+429,430	+1169,268
1	213^о 02'15,9"					8794,774	6409,915	1
		102^о 52'16,6"	963,013	-214,522	+938,815
2	88^о 44'25,6"					8580,252	7348,730	2
		11^о 36'42,2"	1033,151	+1012,007	+207,951
С	269^о 22'03,6"					9592,259	7556,681	C
		100^о 58'45,8"
D								D

Только в качестве примера продолжим уравнивание полигонометрического хода вторым приближением. Полученные остаточные невязки в первом приближении практически можно считать допустимыми.

По аналогии с табл. 4.14 должна быть составлена другая таблица. Но, поскольку изменения в синусах и косинусах дирекционных углов и координатах после первого уравнивания незначительные, то для составления уравнений поправок (4.151) используем те же коэффициенты, а вместо значений W_j используем их величины, полученные после первого уравнивания. В результате имеем:

(4.157)

Таблица коэффициентов a_ij и обратных весов в данном случае имеет тот же вид (табл. 4.15), в связи с чем нормальные уравнения коррелат для второго уравнивания запишем в виде:

1. +4 k₁ – 2,6869k₂ + 1,4720k₃ = 0;

2. – 2,6869k₁ + 3,2469 k₂ – 1,1080k₃ – 0,9 = 0; (4.158)

3. 1,4720 k₁ – 1,1080 k₂ + 1,9541 k₃ = 0.

Из решения полученной системы линейных уравнений:

k₁ = +0,4042 ; k₂ = +0,6307; k₃ = + 0,0542.

Контроль подстановкой в уравнения (4.158) показал правильность вычисления коррелат.

Используя формулы (4.156), получим поправки из второго уравнивания и составим ведомость второго уравнивания (табл. 4.17).

1. v₁ = v_β1 = q₁(k₁ – 1,1229 k₂ + 0,5948 k₃) = ≈ 0,2";

2. v₂ = v_β2= q₂(k₁ – 0,5560k₂ + 0,3866 k₃ = 0,0";

3. v₃ = v_β3 = q₃ (k₁ – 1,1080k₂ + 0,4906 k₃) = ≈ 0,2" ;

4. v₄ = v_β4= q₄ k₁ = +0,4";

5. v₅ = v_s1 = q₅ (+ 0,3447 k₂ + 0,9387 k₃) = +2 мм ;

6. v₆ = v_s2 = q₆ (-0,2228 k₂ + 0,9749 k₃) = 0мм ;

7. v₇ = v_s3 = q₇ (+ 0,9795 k₂ + 0,2013 k₃) = 4 мм.

Таблица 4.17

Ведомость уравнивания (2-е приближение)

№№ точек	Гориз.углы β	Дирекц.углы α	Рассто-яния s , м	Приращения координат, м		Координаты, м		№3 точек
А								A
		137^о 13'16,4"
В	112^о 36'44,1"					8365,344	5240,647	B
		69^о 50'00,5"	1245,634	+429,432	+1169,270
1	213^о 02'15,9"					8794,776	6409,917	1
		102^о 52'16,4"	963,013	-214,521	+938,816
2	88^о 44'25,4"					8580,255	7348,733	2
		11^о 36'41,8"	1033,155	+1012,011	+207,950
С	269^о 22'04,0"					9592,266	7556,683	C
		100^о 58'45,8"
D								D

Остаточные невязки составляют:W_β = 0; W_x = 9592,266 – 9592,268 = = - 2 мм; W_у = 7556,683 – 7556,681 = + 2 мм, что является вполне приемлемым.