- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
Чтобы выполнить оценку точности любой величины, последнюю необходимо представить в виде функции результатов измерений:
, (4.246)
а после этого можно применить формулу теории погрешностей измерений для определения обратного веса функции:
, (4.247)
где - частные производные функции по аргументам xi; pi – вес аргумента (измеренной величины).
Для решения указанной задачи, т.е. определения веса функции, систему нормальных уравнений коррелат увеличивают на одно уравнение (либо несколько уравнений, в зависимости от числа оцениваемых параметров, функций) и записывают в виде:
……………………………………………
(4.248)
,
где ρj – некоторый неизвестный параметр;
………………………………..
(здесь L – cвободные члены новых уравнений);
- свободный член последнего уравнения.
Из решения системы уравнений (4.248), например, по алгоритму Гаусса, получают
. (4.249)
Для каждой из функций соответственно получают свое значение , т.е. необходимо выполнить столько решений уравнений (4.248), сколько в них содержится определяемых функций F.
Задача упрощается тем, что указанные системы решают сразу совместно по определенному алгоритму, который рассмотрим на примере оценки точности установленных или заданных функций в системе нивелирных ходов, приведенной в разделе 4.6.2. В данной системе нивелирных ходов уже выполнено уравнивание, поэтому мы воспользуемся результатами этого решения.
Выберем функции, оценку точности которых мы будем выполнять в данном примере:
(4.250)
Последние четыре функции содержат только одно значение h, т.е. их средние квадратические погрешности равны средней квадратической погрешности соответствующего превышения, поскольку HP10, HP20 и HP30 – исходные высоты (по условию задачи являются безошибочными).
Составим для обработки результатов измерений табл. 4.74, в которую занесем значения коэффициентов и обратных весов из примера 7.2, а также значения частных производных функций:
; ; ; ; ; . (4.251)
Таблица 4.74
№№ изм. |
qi |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
F5 |
∑ |
1 |
0,42 |
+1 |
|
|
|
+1 |
|
+1 |
|
|
|
3 |
2 |
0.68 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
0 |
3 |
1,08 |
+1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
0,39 |
|
+1 |
|
|
+1 |
+1 |
|
|
|
|
3 |
5 |
1,32 |
|
+1 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
1,03 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
1,51 |
|
|
+1 |
+1 |
|
-1 |
|
|
|
|
1 |
8 |
1,72 |
|
|
|
+1 |
+1 |
|
|
|
|
-1 |
1 |
9 |
1,19 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
-1 |
|
-2 |
(10) |
W |
-7 |
+18 |
-16 |
+6 |
+17 |
|
|
|
|
|
|
(11) |
[qa1 |
2,18 |
-1,08 |
0 |
0 |
0,42 |
0 |
0,42 |
-0,68 |
0 |
0 |
1,26 |
(12) |
[qa2 |
(1,08) |
2,79 |
1,32 |
0 |
0,39 |
0,39 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3,81 |
(13) |
[qa3 |
(0) |
(1,32) |
3,86 |
1,51 |
0 |
-1,51 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5,18 |
(14) |
[qa4 |
(0) |
(0) |
(1,51) |
4,42 |
1,72 |
-1,51 |
0 |
0 |
1,19 |
-1,72 |
7,33 |
(15) |
[qa5 |
(0,42) |
(0,39) |
(0) |
(1,72) |
2,53 |
0,39 |
0,42 |
0 |
0 |
-1,72 |
5,87 |
(16) |
[qF |
|
|
|
|
|
1,90 |
0,42 |
0,68 |
1,19 |
1,72 |
|
В таблице в скобках записаны значения коэффициентов, находящихся слева от диагональных. Строки, не относящиеся к номеру измерения (10 – 16), указаны в скобках.
В столбцах F для значений [qa и [qF вычисления производят по формулам (4.248):
- столбец F1 : ; и т.д.;
- столбец F2 : ; и т.д.
Полученные результаты используем для решения задачи методом краковянов. Для этого составим табл. 4.75 , в которую внесем значения нижней части таблицы 4.74.
В табл. 4.75 заносят диагональные коэффициенты в строки N, а у всех остальных коэффициентов меняют знак на противоположный. На противоположный знак следует изменить и у значений ∑.
Таблица 4.75
|
K1 |
K2 |
K3 |
K4 |
K5 |
W |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
F5 |
s+W |
Контр. |
N1 |
2,18 |
1,08 |
0 |
0 |
-0,42 |
7 |
0 |
-0,42 |
0,68 |
0 |
0 |
5,74 |
|
N2 |
|
2,79 |
-1,32 |
0 |
-0,39 |
-18 |
-0,39 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-21,81 |
|
N3 |
|
|
3,86 |
-1,51 |
0 |
16 |
1,51 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10,82 |
|
N4 |
|
|
|
4,42 |
-1,72 |
-6 |
1,51 |
0 |
0 |
-1,19 |
1,72 |
-11,61 |
|
N5 |
|
|
|
|
2,53 |
-17 |
-0,39 |
-0,42 |
0 |
0 |
1,72 |
-21,15 |
|
N6 |
|
|
|
|
|
|
1,90 |
0,42 |
0,68 |
1,19 |
1,72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K1 |
1,476 |
0,732 |
0 |
0 |
-0,285 |
4,743 |
0 |
-0,285 |
0,461 |
0 |
0 |
3,889 |
3,890 |
K2 |
|
1,501 |
-0,879 |
0 |
-0,399 |
-9,679 |
-0,260 |
-0,139 |
0,225 |
0 |
0 |
-12,634 |
-12,632 |
K3 |
|
|
1,757 |
-0,859 |
0,200 |
13,95 |
0,989 |
0,070 |
-0,113 |
0 |
0 |
12,479 |
12,479 |
K4 |
|
|
|
1,919 |
-0,986 |
-9,371 |
0,344 |
-0,031 |
0,051 |
-0,620 |
0,896 |
-11,636 |
-11,636 |
K5 |
|
|
|
|
1,130 |
-2,177 |
-0,378 |
-0,211 |
-0,260 |
0,541 |
0,740 |
-2,875 |
-2,875 |
Вычисление весов функций производят по формуле
. (4.252)
Погрешность единицы веса определяем по формуле (4.241). При этом значение находим из расчетов, выполненных в примере 4.6.2:
= (2,38∙1,7142 + 1,47∙1,4572 + … + 0,84∙4,6292 = 404,11.
мм .
Контроль вычисления выполняют по формуле (4.242).
Погрешности функций вычисляем по формуле (4.238):
мм : мм; мм; мм; мм.
Важной величиной является погрешность измерения превышений (передачи высоты) на 1 км хода. Она вычисляется по той же формуле (4.241), но предварительно необходимо определить вес 1 км хода. В выполненных расчетах единицей веса являлся ход длиной 2 км (см. исходные данные примера 4.6.2). Вес одного километра составит Тогда M1км = мм.