- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
Измеряемые при геодезических работах величины чаще выражаются в метрической и угловой системах счета.
Единицей измерения линейных расстояний является метр и производные от него (километр, сантиметр, дециметр, миллиметр): 1 км = 1000 м; 1 м = =100 см = 1000 мм.
Для определения площадей основной единицей измерения является квадратный метр и производная от него единица – квадратный километр: 1 км² = 1000000 м², а также гектар: 1 га = 10000 м² = 0,01 км²; производными единицами от квадратного метра являются также квадратный сантиметр (1 см2 = 10-4 м2), квадратный дециметр (1 дм2 = 0,01 м2), квадратный миллиметр (1 мм2 = 0,01 см2 = 10-6 м2) и др.
Единицей измерения объёма является кубический метр (м3) и производные от него в соответствующей метрической системе единиц: 1 см3 = 10-6 м3; 1 дм3 = 10-3 м3 и т.п.
Для измерения объемов жидких тел принимают литр (1 л = 1 дм3; 1 м3 = =1000 л).
Единицей измерения углов, направлений является градус, дробными частями которого являются минуты и секунды: 1° = 60´ = 3600″. Часто в качестве угловой меры используют радиан, равный (180/π) градусам, т.е. 1 рад= = 57,29577951° = 3437,746770´ = 206264,8062″, а 1° = 0,017453293 рад.
Во многих приборах используется единица десятичной меры углов, которая равна 1/100 прямого угла – град. Град делится на 100 градовых минут, а каждая градовая минута – на 100 градовых секунд. Таким образом, 1 град = 0,9о = 54' = =3240".
За единицу измерения массы принимается грамм, производными которого являются миллиграмм (1 мг = 0,001 г), килограмм (1 кг = 1000 г), центнер (1 ц = 100 кг), тонна (1 т = 1000 кг).
За единицу измерения температуры принимают обычно 1 градус по шкале Цельсия: 1оС.
Скорость, как единица измерения, указывает быстроту изменения какого-либо процесса. Она может выражаться в количественных единицах в определенном промежутке времени, например, м/с, мм/час, м3/неделю, градусов Цельсия/час, угловых минут/с и т.п. Изменение скорости в единицу времени называют ускорением: м/с2, мм/час2, м3/неделю2 и т.п.
Существуют и другие единицы измерения количественных сторон физических процессов, которые используются в маркшейдерии. К ним можно отнести частоту колебаний, единицы измерения магнитной индуцкции, электромагнитной емкости и мн.др.
1.1.3. Случайная величина
Выполнение измерений часто называют испытанием, а результат измерения, величину, – событием.
Случайное событие, это событие, которое при повторном испытании может наступить, а может и не наступить.
В связи с этим поле значений количественных характеристик объекта, образованное в результате многократных испытаний, является случайным. Например, выполнена разведка месторождения полезного ископаемого буровым способом по нескольким разведочным линиям. Получено среднее содержание полезного ископаемого по всему участку. При этом каждая из проб по разведочной скважине, каждый из показателей по разведочной линии, разведочному блоку являются случайными величинами, поскольку при повторении разведки тем же числом разведочных линий и скважин на них получатся другие случайные величины разведуемых показателей. В том числе, получится и другое значение содержания по участку. Будет оно близким к первому значению, насколько оно будет к нему близким – это уже другой вопрос, вопрос повторяемости опыта.
Случайная величина может быть простой, определяться только одним значением, не разделяемым на части. Несколько случайных величин могут составить некоторую сложную случайную величину. Например, принимая каждый из результатов многократно измеренного горизонтального угла за простую случайную величину, получим среднее значение горизонтального угла, как новую случайную величину, являющуюся сложной.
Случайные величины могут быть непрерывными и дискретными.
Непрерывная случайная величина принимает любые значения в некотором ограниченном (конечном) или неограниченном (бесконечном) интервале.
Дискретная случайная величина принимает конечное или бесконечное счетное множество значений.
Примером дискретной случайной величины является каждое из значений опробования месторождения полезного ископаемого. А непрерывной случайной величиной может быть, например, распределение полезного компонента в какой-либо залежи, на каком-либо участке.
Использование понятия непрерывной случайной величины больше абстактное, поскольку на практике невозможно осуществить неограниченное число измерений (испытаний). Более всего мы имеем дело с дискретными случайными величинами, появление каждой из которых является случайным по своей природе, но одновременно – закономерным в силу определенных свойств всего поля случайных величин. Поясним это на примере.
Пусть в урне находится 99 белых шаров и 1 черный. Если мы вынимаем из урны один шар, то следует ожидать с большой надежностью, что этот шар будет белым. Однако существует возможность появления и черного шара. Она небольшая, всего 1/100, но полностью отвергать появление черного шара нельзя. При многократных испытаниях обязательно белых шаров будет появляться больше примерно в то число раз, во сколько их больше находится в урне по сравнению с черным шаром. Это явление будет устойчивым, закономерным в массе событий, хотя каждое из событий само по себе – простое случайное событие.
Закономерность каждого случайного события определяется его вероятностью.
В дальнейшем при изложении учебного материала условимся обозначать поле случайных величин измеренного параметра прописными буквами Х, Y, Z и т.д., а соответствующие этим полям случайные результаты измерений строчными буквами: х1 , х2 , … , хn ; у1 , у2 , …, уn ; z1 , z2 , ..., zn и т.д.