1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций

Выше рассмотрена лишь небольшая часть сглаживающих функций, которые используются для установления экспериментальных зависимостей между двумя параметрами. На рис. 1.9 показаны общие виды различных сглаживающих функций, которыми можно воспользоваться для решения указанной задачи. Укажем некоторые характеристики и особенности приведенных функций.

А. Линейная функция вида (1.77): у = ах + b.

При а > 0 зависимость прямая: с увеличением х увеличивается у; при а < 0 зависимость обратная: с увеличением х уменьшается у.

При а = 0 взаимосвязь между х и у отсутствует, теряет смысл.

Б. Степенная функция вида (1.89): .

При исследовании явлений в их абсолютных качественных показателях следует считать, что а > 0 (принимает любые положительные значения). Степень b может принимать различные значения: 0 ≤ b ≤ 0. Однако при b = 0 зависимость у от х отсутствует, теряет смысл, поскольку в этом случае у = а.

При принятых выше условиях функция всегда положительная, всегда возрастающая. При b > 1 приращения у возрастают с ростом х , а при b < 1 – наоборот.

При b < 1 кривая асимтотически приближается к линии у = а.

При b = 1 кривая преобразуется в прямую линию с началом в начале координат (у = ах).

При логарифмировании функция линеаризуется и приводится к виду (1.77): .

В. Показательная функция вида (1.82): .

Для разных значений коэффициентов а и b рассматриваются только случай их положительных значений (а > 0 и b > 0). Кривые этой функции исходят из точки b при х = 0.

При а = 1 функциональная связь отсутствует, поскольку в этом случае у = b.

При а > 1 функция возрастающая, а при а < 1 – убывающая, асимптотически приближающаяся к оси х.

При логарифмировании функция линеаризуется и приводится к виду (1.77):

Г. Кривая 2-го порядка вида (1.96): (парабола 2-го порядка).

Рассматриваются области положительных значений аргумента и функции (х > 0; у > 0). Разнообразие кривых обусловлено различными значениями коэффициентов а, b и с. Коэффициент а определяет островершинность кривой, при а < 0 кривая обращена выпуклостью вверх, а при а > 0 – выпуклостью вниз. Коэффициент b определяет смещение кривой вправо или влево. Коэффициент с определяет смещение кривой вверх или вниз.

В области х > 0 и у > 0 кривые могут не иметь экстремума, а представлять собой только ветвь, причем, по параметрам близкую, например, к линейной функции.

Д. Функция вида

. (1.102)

Рис. 1.9. Виды основных сглаживающих функций

(описание и особенности функций приводятся в тексте)

Зависимости асимптотические: при х → 0 у → 0; при х → ∞ у → с. Если > 0, то у > с, если < 0, то у < с.

Можно ввести новую переменную . В этом случае функция (1.102) сводится к параболе (1.96): .

Е. Функции вида

, (1.103)

представляющие собой отношение аргумента к параболе 2-го порядка. Или функции вида

- (1.104)

отношение аргумента к параболе 4-го порядка.

В числителе функций (1.103) и (1.104) может быть применена 2-я степень для аргумента х. Если в формулы (1.103) или (1.104) ввести новую переменную , то получатся уравнения вида Г (параболы). Если в числителе применялся аргумент во 2-й степени, то новая переменная должна иметь вид .

Функции имеют начало в точке (х = 0; у = 0), достигают экстремума в некоторой точке, а затем асимптотически приближаются к оси х.

Отметим, что функции (1.103) и (1.104) весьма близко характеризуют асимметричные распределения.