2.2.5. Определение необходимого объема выборок

Вопрос определения необходимого объема выборок является весьма важным при проведении исследований маркшейдерских, да и не только маркшейдерских, измерений. От их числа зависит качество точечных рценок, надежность полученных параметров распределения признака и т.п. Вместе с тем, необходимое число измерений должно быть и оптимальным как с точки зрения обеспечения качественных характеристик распределений, так и с экономической точки зрения. В некоторых случаях затраты на производство измерений могут быть и не такими значительными, но в большинстве своем они ощутимы. Например, увеличение числа проб при исследовании месторождения полезных ископаемых вызывает и значительные материальные затраты.

Определение объема выборочной совокупности основывается, во-первых, на надежном определении при полученной дисперсии (или известной ее величине) ширины интервала, в котором с установленной доверительной вероятностью будет находиться среднее значение признака. Во-вторых, определение необходимого объема выборки чаще всего не может быть выполнено в результате одного расчета (одного приближения). Если уже имеется выборка объемом n, определено приближенное значение дисперсии (или стандарта) среднего значения признака, то при установлении того или иного интервала, в который попадет среднее значение признака при заданном уровне доверительной вероятности, может оказаться, что число необходимых измерений n_н > n, т.е. необходимо будет увеличить объем выборки на их разность n_доп = (n_н – n), т.н. дополнительное число измерений. После этого следует снова получить среднее значение признака, дисперсию и стандарт с целью выполнения расчетов по подтверждению полученного ранее значения n_н. Другими словами, определение необходимого объема выборки должно производиться методом последовательных приближений.

Если дисперсия σ² генеральной совокупности известна, то при заданном уровне доверительной вероятности β (уровня значимости α = 1 – β) необходимое число измерений может быть оценено по формуле

, (2.20)

где σ – стандарт среднего арифметического, определяемый по формуле (2.8); Δ – полуширина интервала, в который с заданной доверительной вероятностью должно попасть значение среднего арифметического; t – статистика, определяемая функцией Лапласа, значения которой приведены в таблице приложения 2.

Пример 2.6. По выборке объемом n = 36 определено значение среднего арифметического х_о = 247 ед., стандарт среднего арифметического σ = 95 ед. Необходимо определить для доверительной вероятности 0,95 (уровня значимости 0,05) какое число измерений обеспечит попадание полученного среднего значения в интервал Δ = ± 30 ед.

Решение.

По таблице приложения 2 для вероятности 0,95 интерполированием находим значение t = 1,96.

По формуле (2.20) вычисляем необходимое число измерений .

Практически число необходимых измерений почти совпало с объемом выборки. Необходимо увеличить объем выборки на 3 измерения, добавив в нее три случайных значения параметра из имеющейся генеральной совокупности.

Если дисперсия неизвестна, то можно ту же задачу решить следующим образом.

По имеющемуся объему выборки вычислить приближенное значение дисперсии и стандарта среднего арифметического. Для определения значения t можно воспользоваться данными таблицы приложения 10 для t-распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости α. Воспользовавшись рекомендациями по сглаживанию зависимостей (см. п. 1.5.2.3), для уровня значимости 0,05 в пределах числа степеней свободы ν > 20 можно установить зависимость

, (2.21)

которая в данном случае определится следующими параметрами:

. (2.22)

Возведем выражение (2.22) в квадрат:

. (2.23)

Подставим в (2.20) выражение для t² из (2.23), получим

. (2.24)

После преобразования выражения (2.24) окончательно выразим значение необходимого числа измерений:

. (2.25)

Напомним, что приведенное выражение (2.25) составлено для доверительной вероятности 0,95 (уровня значимости 0,05).

Таким образом, зная приближенное значение стандарта и установленный (заданный) доверительный интервал, можно легко выполнить оценку необходимого числа измерений.

Пример 2.7. Для данных примера 2.6 оценить число необходимых измерений.

Решение.

.

Следовательно, для обеспечения попадания среднего арифметического в интервал ±30 ед. при значении стандарта 95 ед. и доверительной вероятности 0,95 требуется выборка объемом n_н = 41. То есть необходимо увеличить выборку на (41 – 36) = 5 случайно отобранных значений исследуемого признака.

Поскольку настоящее учебное пособие является справочным по обработке результатов измерений, то целесообразно получить выражения для необходимого числа измерений и для других уровней доверительной вероятности, например, для доверительных вероятностей 0,99 и 0,999:

- для β= 0,99 (α = 0,01):

; (2.26)

- для β= 0,999 (α = 0,001):

. (2.27)

Обозначим свободные члены линейного уравнения в степени числа 10 выражений (2.25) – (2.27) буквой А, а множитель перед - буквой В. Анализ полученных коэффициентов А и В для уровней значимости 0,05, 0,01 и 0,001 показывает на весьма удовлетворительную их линейную зависимость от логарифма уровня значимости. Аналитически получено:

; . (2.28)

Таким образом, можно записать общее выражение для необходимого числа измерений:

. (2.29)

Несмотря на сложный вид выражения (2.29), вычисления по данной формуле сравнительно простые.

При использовании формулы (2.29) необходимо учитывать следующее. Поскольку значение стандарта среднего арифметического зависит от числа измерений (от ), то при проведении дополнительно числа измерений следует предварительно назначать меньшее их число, чем получено в расчетах с целью учета изменения величины стандарта. Затем по формуле (2.29) уточнять число необходимых измерений.

Пример 2.8. Выполнена обработка результатов измерений по выборке объемом n = 32. Получено значение стандарта среднего арифметического σ = 116 ед. Определить число необходимых измерений при уровне доверительной вероятности 0,98 (уровень значимости 0,02) для обеспечения попадания значения среднего арифметического в интервал ±35 ед.

Решение.

Первое приближение.

По формуле (2.29) находим предварительное значение необходимого числа измерений:

.

Число дополнительных измерений n_доп = 58 – 32 = 26.

Второе приближение.

Из числа полученных дополнительных измерений проведена треть, т.е. 9 измерений. Таким образом, объем выборки n = 41.

Вычислено новое значение стандарта σ = 107 и оценка необходимого числа измерений с учетом новых данных:

.

Третье приближение.

Число дополнительных измерений n_доп = 50 – 41 = 9.

Из числа полученных дополнительных измерений проведена половина, т.е. 5 измерений. Таким образом, объем выборки n = 46.

Вычислено новое значение стандарта σ = 104 и оценка необходимого числа измерений с учетом новых данных:

.

Четвертое приближение.

Число дополнительных измерений n_доп = 48 – 46 = 2.

Из числа полученных дополнительных измерений проведено 2 измерения. Таким образом, объем выборки n = 48.

Вычислено новое значение стандарта σ = 103 и оценка необходимого числа измерений с учетом новых данных:

.

Окончательный ответ: число необходимых измерений фактически оказалось равным 47 (при выполненных 48 измерениях), на 11 меньше, чем полученное в первом приближении.