3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений

Предположим, что какая-либо однородная величина измерена дважды независимо и равноточно. Далее эта же величина, либо другие однородные с ней величины измерены в каждой паре также равноточно, но между собой все пары являются неравноточными.

Составим разности для всей группы измерений:

(3.53)

Поскольку разность d имеет среднюю квадратическую погрешность

, (3.54)

то вес разности будет равен

. (3.55)

Значения d являются истинными погрешностями, поэтому по формуле средней квадратической погрешности единицы веса можно записать, что

. (3.56)

Очевидно, что вероятнейшие значения x_o величин x_i при равноточных измерениях в паре определяются как простые средние арифметические, а вес каждого из них найдется как . Следовательно, средняя квадратическая погрешность вероятнейшего значения будет равна

. (3.57)

В практике следует ожидать и такого положения, когда измерения в паре между собой окажутся неравноточными. В этом случае вес разности d_i находят по формуле

. (3.58)

Погрешность единицы веса в этом случае будет равна

. (3.59)

и средние квадратические погрешности в парах –

. (3.60)

Рассмотрим пример обработки ряда двойных неравноточных измерений, если в каждой паре выполнены равноточные измерения.

Пример 3.8. Выполнены парные (двойные) измерения длин линий с относительной средней квадратической погрешностью δ = 1 : 100000 (табл. 3.5).

Требуется выполнить обработку ряда измерений с целью определения средней квадратической погрешности единицы веса, средней квадратической опогрешности средних из двух измерений и относительные погрешности. За единицу веса принята средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной 2000 м, равная 20 мм.

Таблица 3.5

К примеру 3.8

n	Результаты измерений, м		mi мм	pi	di м		pidi	pidi^2 10^-4
	1-е изм.	2-е изм.
1	2273,842	2273,856	13	2,37	-0,014	-0,022	-0,033	4,65
2	2450,116	2450,112	24	0,69	+0,004	+0,003	+0,003	0,11
3	1852,319	1852,305	18	1,23	+0,014	+0,016	+0,017	2,41
4	2746,214	2746,221	18	1,23	-0,007	-0,008	-0,009	0,60
5	1963,858	1963,842	10	4,00	+0,016	+0,032	+0,064	10,24
6	2086,321	2086,330	11	3,31	-0,009	-0,016	-0,030	2,68
7	1741,319	1741,332	27	0,55	-0,013	-0,010	-0,007	0,93
8	2019,081	2019,076	30	0,44	+0,005	+0,003	+0,002	0,11
9	1847,758	1847,779	15	1,78	-0,021	-0,028	-0,037	7,85
10	922,605	922,581	13	2,37	+0,024	+0,037	+0,057	13,65
				22,44			+0,027	0,004323

Занесем в таблицу значения средних квадратических погрешностей и вычислим веса результатов измерений по формуле (3.47).

Вычислим значения разностей двойных измерений и приведем эти разности к равноточнм измерениям, умножив их на корень квадратный из соответствующего веса. Ряд полученных значений ряда равноточных двойных измерений исследуем на значимость влияния систематических погрешностей по выполнению условия

. (3.61)

Получено 0,007 ‹ 0,700, т.е. влиянием систематических погрешностей можно пренебречь, считая, что ряд разностей является рядом случайных погрешностей.

Вычислим произведения p_id_i , контролем для которых является равенство

. (3.62)

в допустимых отклонениях, в том числе и из-за остаточных систематических погрешнсотей.

Вычислим значения p_id_i² и получим их сумму [p_id_i²] = 0,004323.

По формуле (3.56) найдем среднюю квадратическую погрешность единицы веса

.

Относительная погрешность единицы веса δ_о = 0,0147/2000 = 1 : 136000.

Средние квадратические погрешности в парах измерений, вычисленные по формуле (3.57) и их относительные погрешности сведены в табл. 3.6.

Таблица 3.6

К примеру 3.8

Средние квадратические погрешности вероятнейших значений в парах измерений и их относительные погрешности

№ измер.	mi	δi	№ измер.	mi	δi
1	0,0068	1:336800	6	0,0057	1:365200
2	0,0125	1:195800	7	0,0140	1:124200
3	0,0094	1:197600	8	0,0157	1:128800
4	0,0094	1:293000	9	0,0078	1:237200
5	0,0052	1:377900	10	0,0068	1:136600