1.3.5. Асимметрия и эксцесс
Данные характеристики целесообразно использовать для исследования вариационных рядов с большим объемом совокупности. Асимметрия и эксцесс являются одними из моментов q-го порядка отклонений величин вариантов от их среднего арифметического значения, среднего весового значения, математического ожидания или любой другой постоянной величины.
Если отклонения определены относительно некоторой постоянной величины, отличной от среднего арифметического, среднего весового или математического ожидания, то вычисленные моменты q-го порядка называют условными.
Общая формула для вычисления моментов q-го порядка имеет вид:
,
(1.51)
где хi – элементы вариационного ряда; С – постоянное число; n – объем совокупности; ki – частота данного элемента вариационного ряда; q – степень; αk – момент q-го порядка.
При С = 0 получают т.н. начальные моменты q-го порядка.
.
(1.52)
Например, начальный момент 1-го порядка
(1.53)
называют средним взвешенным, средним весовым, средним арифметическим, начальный момент 2-го порядка
(1.54)
называют средним квадратическим, («минус»1–го порядка – средним гармоническим) и т.п.
При С, равном среднему арифметическому, среднему весовому, математическому ожинанию по формуле (1.51) вычисляют моменты, которые называют центральными.
Центральный момент 1-го порядка
=
0. (1.55)
Центральный момент 2-го порядка
(1.56)
называется дисперсией.
Центральный момент 3-го порядка
(1.57)
используется для оценки асимметрии.
Центральный момент 4-го порядка
(1.58)
используется для оценки эксцесса.
Понятия асимметрии и эксцесса иллюстрируются на рис. 1.2.
Следует иметь в виду, что асимметрия и эксцесс – параметры относительные. Они определяются обычно относительно симметричных распределений, в частности, относительно нормального распределения, для которого асимметрия А = 0 и эксцесс Е = 0.
Рис. 1.2. Асимметрия и эксцесс кривых распределения:
а – асимметрия (А); б – эксцесс (Е)
Показателем асимметрии является величина
.
(1.59)
Показателем эксцесса является величина
.
(1.60)
Как уже говорилось выше, для симметричных распределений среднее арифметическое (весовое, математическое ожидание), медиана Ме и мода Мо равны друг другу, а асимметрия А равна нулю. Эксцесс Е равен нулю только для нормального распределения.
Для положительных значений А (А > 0) кривая распределения смещена вправо (правосторонняя асимметрия), для отрицательных значений А (А < 0) кривая распределения смещена от симметричного положения влево (левосторонняя асимметрия).
Для положительных значений Е (Е > 0) кривая распределения становится островершинной, а для отрицательных значений Е (Е < 0) – кривая распределения выполаживается, «расползается», относительно кривой нормального распределения.
Для асимметрии и для эксцесса используются оценки надежности получения их величин.
Для асимметрии
.
(1.61)
Для эксцесса
(1.62)
При распределении, например, по нормальному закону, допустимые значения А и Е не должны превышать 3mA(E). Если такое условие не выполняется, то полагают, что данное распределение не подчиняется нормальному закону.
Пример 1.12. Вычислить асимметрию и эксцесс для интервальных рядов, представленных в табл. 1.3, 1.4 и 1.5.
Решение. Для вычислений воспользуемся формулами (1.55 – 1.58), преобразованными для частостей:
=
0. (1.63)
(1.64)
(1.65)
,
(1.66)
в
которых
.
Табл. 1.3.
Асимметрию вычисляем по формуле (1.59), эксцесс – по формуле (1.60):
;
Оценка
асимметрии:
mA =
0,26; 3mA =
0,79.
Оценка
эксцесса:
mE
= 0,50;
3mE
= 1,50.
Полученная оценка говорит о том, что данное распределение отличается от нормального.
Поскольку А > 0, то распределение показателя (содержания) следует считать с правосторонней асимметрией. Поскольку Е < 0, то распределение следует считать более пологим по сравнению с нормальным распределением.
Табл. 1.4.
.
.
.
Асимметрию вычисляем по формуле (1.59), эксцесс – по формуле (1.60):
;
Табл. 1.5.
.
.
.
Асимметрию вычисляем по формуле (1.59), эксцесс – по формуле (1.60):
;
