4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками

Уравнивание таких систем полигонометрических ходов аналогично уравниванию как одиночного полигонометрического хода, так и системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой. В такой системе (рис. 4.11) образуется три независимых полигонометрических хода [(1), (2), (3)], в которых возникает по три условия: три условия дирекционных углов и шесть условий координат, т.е. получается девять условных уравнений.

В табл. 4.26 – 4.28 приведены необходимые исходные данные для решения задачи уравнивания, заключающейся в определении уравненных значений координат точек 1, 2, 3, M, N, а также уравненного значения дирекционного угла узловой линии MN. (В данном примере узловые точки M и N образуют и узловую линию).

Часто между узловыми точками прокладывают полигонометрический ход в две и более линии. Тогда понятие узловой линии не будет иметь места. Ею может быть любая линия с началом в какой-либо узловой точке).

Горизонтальные углы измерены равноточно с погрешностью m_β = 2,0". Расстояния измерены светодальномером с погрешностью, примерно одина-ковой для всех линий (m_s = 18 мм = 1,8 см). В соответствии с указанной точностью измерения расстояний и углов веса углов принимаем равными единице (p_β = 1; q_β = 1), а веса расстояний –

.

Таблица 17

Координаты исходных пунктов

Координаты, м	B	C	F	G
Х	7183,652	8137,565	6124,924	7894,521
Y	4380,124	6463,782	4718,048	7173,596

Рис. 4.11. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками

Таблица 4.27

Исходные дирекционные углы

αАВ	71º 08' 14,3"	α BA	251º 08' 14,3"
α CD	118º 19' 14,7"	α DC	298º 19' 14,7"
α EF	324º 21' 18,0"	α FE	144º 21' 18,0"
α GH	159º 58' 14,2"	α HG	339º 58' 14,2"

Таблица 4.28

Результаты измерений

Обозначение угла	Значение угла	Обозначение расстояния	Значение расстояния, м
β 1	226º 15' 25"	s 1	475,885
β 2	201º 36' 36"	s 2	693,027
β 3	85º 02' 31"	s 3	857,338
β 4	170º 15' 07"	s 4	401,239
β 5	172º 53' 18"	s 5	841,215
β 6	271º 07' 58"	s 6	625,329
β 7	280º 34' 07"	s 7	573,421
β 8	84º 46' 52"	s 8	989,716
β 9	337º 03' 44"
β 10	178º 54 26"
β 11	78º 21 28"

Выполним предварительные вычисления в полигонометрических ходах (1), (2) и (3), т.е. определим координаты точек ходов, используя только измеренные величины (табл. 4.29).

Шаг 1. Общее число измерений n = 19 (11 углов и 8 расстояний), число необходимых измерений k = 10, число избыточных измерений r = 9.

Таблица 4.29

Предварительные вычисления в полигонометрических ходах

№№ точек	Гориз.углы β	Дирекц.углы α	Рассто-яния s , м	Приращения координат, м		Координаты, м		№№ точек
				Δх	Δу	Х	Y
A				Ход (1)
		71°08'14,3"
B	226°15'25"					7183,652	4380,124	B
		117°23'39,3"	475,885	-218,960	+422,520
1	201°36'36"					6964,692	4802,644	1
		139°00'15,3"	693,027	-523,068	+454,628
M	280°34'07"					6441,624	5257,272	M
		239°34'22,3"	625,329	-316,693	-539,205
F	84°46'52"					6124,931 6124,924 +0,7 см	4718,067 4718,048 +1,9 см	F^o FИСХ
		144°21'14,3" 144°21'18,0" -3,7"
E
				Ход (2)
A
		71°08'14,3"
B	226°15'25"					7183,652	4380,124	B
		117°23'39,3"	475,885	-218,960	+422,520
1	201°36'36"					6964,692	4802,644	^1
		139°00'15,3"	693,027	-523,068	+454,628
M	85°02'31"					6441,624	5257,272	M
		44°02'46,3"	857,338	+616,237	+596,054
N	170°15'07"					7057,861	5853,326	N
		34°17'53,3"	401,239	+331,470	+226,098
2	172°53'18"					7389,331	6079,424	2
		27°11'11,3"	841,215	+748,281	+384,341
C	271°07'58"					8137,612 8137,565	6463,765 6463,782	C^o СИСХ
		118°19'09,3" 118°19'14,7" -5,4"
D						+4,7 см	-1,7 см
				Ход (3)
H
		339°58'14,2"
G	78°21'28"					7894,521	7173,596	G
		238°19'42,2"	573,421	-301,075	-488,022
3	178°54'26"					7593,446	6685,574	3
		237°14'08,2"	989,716	-535,620	-832,255
N	337°03'44"					7057,826	5853,320	N
		34°17'52,2"	401,239	+331,471	+226,096
2	172°53'18"					7389,297	6079,415	2
		27°11'10,2"	841,215	+748,283	+384,337
C	271°07'58"					8137,580 8137,565	6463,752 6463,782	C^o СИСХ
		118°19'08,2" 118°19'14,7" -6,5"
D						+1,5 см	-3,0 см

Шаг 2. Составление условных уравнений.

Для трех независимых ходов, будем иметь три условных уравнения для дирекционных углов и шесть условных уравнений для координат ( три – для абсцисс, три – для ординат).

1.

2.

3.

4.

5. (4.168)

6.

7.

8.

9.

В уравнениях (4.168) индексы (1), (2) и (3) относятся к соответствующим ходам (см. табл. 4.29), например, n₍₁₎ = 4, n₍₂₎ = 6, n₍₃₎ = 5.

Приведем условные уравнения к линейному виду по правилам, изло-женным выше. В полученные выражения введем знак гауссовых сумм […].

1.

2.

3.

4.

5. (4.169)

6.

7.

8.

9.

Вычислим значения невязок в уравнениях (4.169) с учетом данных измерений и предварительных вычислений:

W_i = T_i^o – T_i(исх) , (4.170)

где T_i^o – результат вычисления исходной величины T_i(исх).

W₁ = 144º'" 21' 14,3" – 144º 21' 18,0" = - 3,7" ;

W₂ = 118º 19' 09,3" – 118º 19' 14,7" = - 5,4" ;

W₃ = 118º 19' 08,2" – 118º 19' 14,7" = - 6,5" ;

W₄ = 6124,931 – 6124,924 = +0,007 м = + 0,7 см;

W₅ = 4718,067 – 4718,048 = + 0,019 м = + 1,9 см;

W₆ = 8137,612 – 8137,565 = + 0,047м = + 4,7 см;

W₇ = 6463,765 – 6463,782 = - 0,017 м = - 1,7 см;

W₈ = 8137,580 – 8137,565 = + 0,015 м = + 1,5 см;

W₉ = 6463,752 – 6463,782 = - 0,030 м = - 3.0 см .

По данным табл. 4.29 составим табл. 4.30 значений синусов и косинусов дирекционных углов и разностей абсцисс и ординат.

Таблица 4.30

Значения sin и cos дирекционных углов и разности координат

№№ точек	Sin αi	Cos αi	(хn^0-xi^0), км	(yn^0-yi^0), км
Ход 1
В	(В-1) 0,8879	-0,4601	-1,0587	0,3379
1	(1-М) 0,6560	-0,7548	-0,8398	-0,0846
М	(M-F) -0,8623	-0,5064	-0,3167	-0,5392
F
Ход 2
В	(В-1) 0,8879	-0,4601	0,9540	2,0836
1	(1-М) 0,6560	-0,7548	1,1729	1,6611
М	(M-N) 0,6952	0,7188	1,6960	1,2065
N	(N-2) 0,5635	0,8261	1,0798	0,6104
2	(2-C) 0,4569	0,8895	0,7483	0,3843
C
Ход 3
G	(G-3)-0,8511	-0,5250	0,2431	-0,7098
3	(3-N)-0,8409	-0,5412	0,5441	-0,2218
N	(N-2)0,5635	0,8261	1,0798	0,6104
2	(2-C)0,4569	0,8895	0,7483	0,3843
C

Получим окончательные условные уравнения поправок:

(4.171)

Составим матрицу коэффициентов a_ij и обратных весов q_i , необходимую для определения коэффициентов нормальных уравнений коррелат (табл. 4.31).

Таблица 4.31

Матрица коэффициентов и обратных весов

i→ j↓	1 β1	2 β2	3 β3	4 β4	5 β5	6 β6	7 β7	8 β8	9 β9
1	1	1	0	0	0	0	1	1	0
2	1	1	1	1	1	1	0	0	0
3	0	0	0	0	1	1	0	0	1
4	-0,1638	0,0410	0	0	0	0	0,2614	0	0
5	-0,5133	-0,4071	0	0	0	0	-0,1535	0	0
6	-1,0102	-0,8053	-0,5849	-0,2959	-0,1863	0	0	0	0
7	0,4625	0,5686	0,8222	0,5235	0,3628	0	0	0	0
8	0	0	0	0	-0,1863	0	0	0	-0,2959
9	0	0	0	0	0,3628	0	0	0	0,5235
qi	1	1	1	1	1	1	1	1	1

(продолжение табл. 4.31)

10 β10	11 β11	12 s1	13 s2	14 s3	15 s4	16 s5	17 s6	18 s7	19 s8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	-0,4601	-0,7548	0	0	0	-0,5064	0	0
0	0	0,8879	0,6560	0	0	0	-0,8623	0	0
0	0	-0,4601	-0,7548	0,7188	0,8261	0,8895	0	0	0
0	0	0,8879	0,6560	0,6952	0,5635	0,4569	0	0	0
0,1076	0,3441	0	0	0	0,8261	0,8895	0	-0,5250	-0,5412
0,2638	0,1178	0	0	0	0,5635	0,4569	0	-0,8511	-0,8409
1	1	0,810	0,810	0,810	0,810	0,810	0,810	0,810	0,810

Шаг 4. Составление нормальных уравнений коррелат.

1. 4k₁ + 2 k₂ + 0,1386 k₄ – 1,0739 k₅ – 1,8155 k₆ + 1,0311 k₇ – 3,7= 0;

2. 2 k₁ + 6 k₂ + 2 k₃ – 0,1228 k₄ – 0,9204 k₅ – 2,8827 k₆ + 2,7396 k₇ - 0,1863 k₈ +

+0,3628 k₉ – 5,4 = 0;

3. 2 k₂ + 5 k₃ – 0,1863 k₆ +0,3628 k₇ -0,0306 k₈ + 1,2679 k₉ – 6,5 = 0;

4. 0,1386 k₁ – 0,1228 k₂ + 0,9375 k₄ -0,3510 k₅ +0,7654k₆ – 0,7844 k₇ + 0,7 = 0;

5. -1,0739 k₁ – 0,9204 k₂ – 0,3510 k₄ + 2,3327 k₅ + 0,1144 k₆ + 0,5182 k₇ + 1,9 = 0;

6. -1,8155 k₁ – 2,8827 k₂ – 0,1863 k₃ + 0,7654 k₄ + 0,1144 k₅ + 4,3786 k₆ -1,2495 k₇ +

+ 1,2284 k₈ + 0,6387 k₉ + 4,7 = 0;

7. 1,0311 k₁ + 2,7396 k₂ + 0,3628 k₃ – 0,7844 k₄ +0,5182k₅ -1,2495 k₆ + 3,4238 k₇ + +0,6387 k₈ + 0,5579 k₉ – 1,7 = 0;

8. -0,1863 k₂ – 0,0306 k₃ + 1,2284 k₆ + 0,6387 k₇ + 1,9065 k₈ + 1,2832 k₉ + 1,5 = 0;

9. 0,3628 k₂ + 1,2679 k₃ + 0,6387 k₆ + 0,5579 k₇ + 1,2832 k₈ + 2,0749 k₉ – 3,0 = 0.

(4.172)

Из решения системы нормальных линейных уравнений (4.172) получим:

k₁ = + 0,474; k₂ = - 0,375; k₃ = + 0,740; k₄ = - 0,379; k₅ = - 0,983; k₆ = - 0,614; k₇ = + 0,422; k₈ =

=- 2,263; k₉ = + 2,534.

Подстановка полученных значений коррелат в исходные уравнения (4.172) показывает выполнение указанных условий.

Таблица 4.32

Ведомость уравнивания

№№ точек	Гориз.углы β	Дирекц.углы α	Рассто-яния s , м	Приращения координат, м		Координаты, м		№№ точек
				Δх	Δу	Х	Y
A				Ход (1)
		71°08'14,3"
B	226°15'26,48"					7183,6520	4380,1240	B
		117°23'40,78"	475,8847	-218,9627	+422,5182
1	201°36'37,22"					6964,6893	4802,6422	1
		139°00'18,00"	693,0301	-523,0761	+454,6230
M	280°34'07,53"					6441,6132	5257,2652	M
		239°34'25,53"	625,3374	-316,6888	-539,2171
F	84°46'52,47"					6124,9244 +0,4 мм	4718,0481 +0,1 мм	F
		144°21'18,00" 0,00"
E
				Ход (2)
A
		71°08'14,3"
B	226°15'26,48"					7183,6520	4380,1240	B
		117°23'40,78"	475,8847	-218,9627	+422,5182
1	201°36'37,22"					6964,6993	4802,6422	^1
		139°00'18,00"	693,0301	-523,0761	+454,6230
M	85°02'31,33"					6441,6132	5257,2652	M
		44°02'49,33"	857,3368	+616,2274	+596,0623
N	170°15'07,03"					7057,8406	5853,3276	N
		34°17'56,36"	401,2332	+331,4621	+226,0995
2	172°53'19,97"					7389,3027	6079,4271	2
		27°11'16,33"	841,2052	+748,2631	+384,3547
C	271°07'58,37"					8137,5658 +0,8 мм	6463,7818 -0,2 мм	C
		118°19'14,70" 0,00"
D
				Ход (3)
H
		339°58'14,2"
G	78°21'28,26"					7894,5210	7173,5960	G
		238°19'42,46"	573,4133	-301,0701	-488,0160
3	178°54'27,16"					7593,4509	6685,5800	3
		237°14'09,62"	989,7087	-535,6104	-832,2528
N	337°03'46,74"					7057,8405	5853,3272	N
		34°17'56,36"	401,2332	+331,4621	+226,0995
2	172°53'19,97"					7389,3026	6079,4267	2
		27°11'16,33"	841,2052	+748,2631	+384,3547
C	271°07'58,37"					8137,5657 +0,7 мм	6463,7814 -0,6 мм	C
		118°19'14,70" 0,00"
D

Шаг 5. Составление уравнений поправок и вычисление поправок.

В соответствии с таблицей 4.31:

Шаг 6. Вычисление уравненных значений координат и дирекционных углов.

Поправки в измеренные величины вводим непосредственно при обработке ведомости уравнивания (табл. 4.32), составленной по аналогии с табл. 4.29.

Как видно из данных уравнивания (при сравнении с исходными данными) линейные остаточные невязки в ходах не превышают 3-х мм, угловые остаточные невязки равны нулю.

Задача решена.

Остаточные невязки в углах и координатах являются несущественными и зависят от округления промежуточных результатов.

Обычно после завершения уравнивания значения координат округляют до 1 мм, а значения углов до 0,1".