- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
2.5.4. Понятие о множественной регрессии
Множественная регрессия применяется в том случае, когда случайная величина зависит от двух или нескольких случайных величин.
Методы множественной регрессии применяют для прогноза некоторой случайной величины с помощью нескольких независимых переменных, при этом определяют влияние каждой из независимых случайных величин на прогнозируемую величину, считая влияние других на нее ничтожным. Попарное выявление указанного влияния называют парным корреляционным анализом, аналогичным случаю двумерной зависимости, рассмотренной ранее.
Оценки коэффициентов регрессии выполняют по методу наименьших квадратов.
Для определения погрешности аппроксимации множественной регрессии используют формулу
, (2.78)
где уi – значения прогнозируемой переменной статистической таблицы; уi* - значения прогнозируемой переменной, вычисленные по уравнению множественной регрессии; n – ранг статистической таблицы (число пар переменных; количество измерений; объем выборок); k – число независимых переменных xi , входящих в статистическую таблицу.
В качестве характеристики корреляционной связи между величиной у и всей совокупностью величин х используется коэффициент корреляции между у и у*, который получают по формуле
, (2.79)
где уo и уо* - соответственно средние значения уi и уi*.
Уравнение множественно регрессии в общем случае имеет вид:
, (2.80)
где b – постоянные коэффициенты.
Даже при k = 3 определение коэффициентов уравнения множественной регрессии является сравнительно трудоемким.
Для случая трех переменных уравнение множественной корреляции имеет вид
. (2.81)
Для определения оценок коэффициентов регрессии a, b и c составляют систему нормальных уравнений:
(2.82)
Из решения системы уравнений (2.82) находят искомые коэффициенты и подставляют их в уравнение регрессии (2.81).
Далее приводится пример составления уравнения регрессии при k = 2.
Пример 2.16. Выполнены измерения величин Y, X1 и X2 (см. табл. 2.16 и 2.17). (Результаты измерений условные).
Составить уравнение множественной регрессии, определить коэффициент корреляции и погрешность аппроксимации данных полученным уравнением регрессии.
Таблица 2.16
К примеру 2.16 (исходные данные и расчеты)
№№ пп |
у |
х1 |
х2 |
у1-уо (Δу) |
(Δу)2 |
х1-хо (Δх1) |
(Δх1)2 |
х2-хо (Δх2) |
(Δх2)2 |
(Δу)х х(Δх1) |
(Δу)х х(Δх2) |
1 |
41 |
0,1 |
26 |
-49 |
2401 |
-1,1 |
1,21 |
+7 |
49 |
53,9 |
-343 |
2 |
52 |
0,3 |
22 |
-38 |
1444 |
-0,9 |
0,81 |
+3 |
9 |
34,2 |
-114 |
3 |
58 |
0,2 |
23 |
-22 |
484 |
-1,0 |
1,00 |
+4 |
16 |
22,0 |
-88 |
4 |
75 |
0,6 |
21 |
-15 |
225 |
-0,6 |
0,36 |
+2 |
4 |
9,0 |
-30 |
5 |
87 |
0,9 |
21 |
-3 |
9 |
-0,3 |
0,09 |
+2 |
4 |
0,9 |
-6 |
6 |
103 |
1,4 |
17 |
+13 |
169 |
+0,2 |
0,04 |
-2 |
4 |
2,6 |
-26 |
7 |
106 |
1,6 |
18 |
+16 |
256 |
+0,4 |
0,16 |
-1 |
1 |
6,4 |
-16 |
8 |
114 |
2,0 |
15 |
+24 |
576 |
+0,8 |
0,64 |
-4 |
16 |
19,2 |
-96 |
9 |
124 |
2,1 |
14 |
+34 |
1156 |
+0,9 |
0,81 |
-5 |
25 |
30,6 |
-170 |
10 |
140 |
2,8 |
13 |
+50 |
2500 |
+1,6 |
2,56 |
-6 |
36 |
80,0 |
-300 |
|
900 |
12,0 |
190 |
0 |
9220 |
0 |
7,68 |
0 |
164 |
258,8 |
-1189 |
Средние |
90 |
1,2 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.17
К примеру 2.16 (исходные данные и расчеты)
№№ пп |
у |
х1 |
х2 |
у2 |
х12 |
х22 |
х1х2 |
ух1 |
ух2 |
1 |
41 |
0,1 |
26 |
1681 |
0,01 |
676 |
2,6 |
4,1 |
1066 |
2 |
52 |
0,3 |
22 |
2704 |
0,09 |
484 |
6,6 |
15,6 |
1144 |
3 |
58 |
0,2 |
23 |
3364 |
0,04 |
529 |
4,6 |
11,6 |
1334 |
4 |
75 |
0,6 |
21 |
5625 |
0,36 |
441 |
12,6 |
45,0 |
1575 |
5 |
87 |
0,9 |
21 |
7569 |
0,81 |
441 |
18,9 |
78,3 |
1827 |
6 |
103 |
1,4 |
17 |
10609 |
1,96 |
289 |
23,8 |
144,2 |
1751 |
7 |
106 |
1,6 |
18 |
11236 |
2,56 |
324 |
28,8 |
169,6 |
1908 |
8 |
114 |
2,0 |
15 |
12996 |
4,00 |
225 |
30,0 |
228,0 |
1710 |
9 |
124 |
2,1 |
14 |
15376 |
4,41 |
196 |
29,4 |
260,4 |
1736 |
10 |
140 |
2,8 |
13 |
19600 |
7,84 |
169 |
36,4 |
392,0 |
1820 |
|
900 |
12,0 |
190 |
90760 |
22,08 |
3774 |
193,7 |
1348,8 |
15871 |
Решение.
В таблицах 2.16 и 2.17 выполнены соответствующие расчеты и вычислены суммы по столбцам (выделены в последней строке таблицы).
По формуле (2.5) вычисляем значения стандартов для Y, X1 и X2:
; ; .
По формуле (2.53) находим значения коэффициентов корреляции между Y и X1 и Y и X2, при этом ковариация определяется по значению (n – 1) :
; .
Составим систему нормальных уравнений (2.82):
Из решения полученной системы нормальных уравнений получим значения искомых коэффициентов: а = 22,507; b = - 2,829; с = 116,75.
Таким образом, уравнение множественной регрессии будет иметь вид:
у = 22,507х1 – 2,829х2 +116,75. (2.83)
Подставим в уравнение (2.83) значения х1 и х2 из таблицы 2.16 и вычислим значения параметра у* (см. табл. 2.18).
Таблица 2.18
К примеру 2.16
№№ пп |
у |
у* |
у* - уо* (Δу*) |
(у* - уо*)2 (Δу*)2 |
у – у* |
(у – у*)2 |
(у – уо)(у* – уо*) |
1 |
41 |
45,4 |
-44,6 |
1989,16 |
-4,4 |
19,36 |
2185,4 |
2 |
52 |
61,3 |
-28,7 |
823,69 |
-9,3 |
86,49 |
1090,6 |
3 |
58 |
56,2 |
-33,8 |
1142,44 |
+1,8 |
3,24 |
743,6 |
4 |
75 |
70,8 |
-19,2 |
368,64 |
+4,2 |
17,64 |
288,0 |
5 |
87 |
77,6 |
-12,4 |
153,76 |
+9,4 |
88,36 |
37,2 |
6 |
103 |
100,2 |
+10,2 |
104,04 |
+2,8 |
7,84 |
132,6 |
7 |
106 |
101,8 |
+11,8 |
139,24 |
+4,2 |
17,64 |
188,8 |
8 |
114 |
119,3 |
+29,3 |
858,49 |
-5,3 |
28,09 |
703,2 |
9 |
124 |
124,4 |
+34,4 |
1183,36 |
-0,4 |
0,16 |
1169,6 |
10 |
140 |
143,0 |
+53,0 |
2809,00 |
-3,0 |
9,00 |
2650,0 |
Суммы |
900 |
900 |
0 |
9571,82 |
0 |
277,82 |
9189,0 |
Средние |
90 |
90 |
|
|
|
|
|
Используя данные приведенных расчетных таблиц, вычислим по формуле (2.79) значение коэффициента корреляции между исходными значениями параметра Y и значениями того же параметра Y*, вычисленные по формуле регрессии:
.
По формуле (2.78) находим среднюю квадратическую погрешность аппроксимации параметра Y уравнением регрессии:
.