4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
Для решения указанной задачи воспользуемся данными примера, приведенного в разделе 4.6.3.
Шаг 1. Общее число измерений n = 7 (4 угла, 3 расстояния), число необходимых измерений k = 4, число избыточных измерений r = 3.
Шаг 2. Выбор параметров tj.
В качестве параметров tj выбираем координаты точек 1 и 2:
x1 = t1; y1 = t2; x2 = t3; y2 = t4.
Шаг 3. Выразим измеренные величины через выбранные параметры.
Предварительно найдем дирекционные углы сторон полигонометрического хода:
-
исходный дирекционный угол;
(4.192)
-
исходный дирекционный угол.
Из схемы полигонометрического хода и формул (4.192) следует, что
(4.193)
Таблица 4.49
Ведомость предварительного уравнивания
№№ точек |
Гориз.углы β |
Дирекц.углы α |
Рассто-яния s , м |
Приращения координат, м |
Координаты, м |
№№ точек |
||
|
|
|
|
|||||
А |
|
|
|
|
|
|
|
A |
137°13'16,4" |
|
|
|
|||||
В |
112°36'45,4" -0,9 |
8365,344 |
5240,647 |
B |
||||
69°50'00,9" |
1245,638 |
+429,431 +0,004 |
+1169,274 -0,005 |
|||||
1 |
213°02'16,8" -0,9 |
8794,779 |
6409,916 |
1 |
||||
102°52'16,8" |
963,017 |
-214,524 +0,003 |
+938,819 -0,003 |
|||||
2 |
88°44'26,7" -0,8 |
8580,258
|
7348,732 |
2 |
||||
11°36'42,7" |
1033,151 |
+1012,006 +0,004 |
+207,953 -0,004 |
|||||
С |
269°22'040" -0,9 |
9592,268 |
7556,681 |
Cо |
||||
100°58'45,8"
|
|
+1226,913 |
+2316,046 |
|||||
D |
683о 45' 32,9" 683о 45' 29,4" fβ = +3,5" |
|
|
|
||||
|
|
+1226,924 |
+2316,034 |
|||||
|
|
|
|
-0,011 |
+0,012 |
|
|
|
Для расстояний:
(4.194)
Шаг 4. Определение приближенных значений параметров tj.
Для этого выполним предварительную обработку полигонометрического хода (табл. 4.49), произведя в нем предварительное (раздельное) уравнивание, которое заключается в отдельном уравнивании углов с распределением угловой невязки поровну в каждый угол и в уравнивании приращений координат пропорционально горизонтальным проложениям, по которым получены данные приращения координат.
При раздельном уравнивании угловая невязка равна +3,5", невязки в координатах: fx = - 0,011 м; fy = + 0,012 м.
Таким образом, приближенные значения параметров tj равны:
t10 = 8794,779 м ; t20 = 6409,916 м; t30 = 8580,258 м; t40 = 7348,732 м.
Шаг 5. Приведение функций (4.193) и (4.194) к линейному виду, вычисление коэффициентов а и b и свободных членов уравнений поправок.
Запишем уравнения поправок для измеренных углов и расстояний, пользуясь рекомендациями, изложенными в разделе 4.3.
(4.195)
Принимая, что погрешности исходных данных равны нулю, т.е. поправки в них также равны нулю, упростим уравнения (4.195):
(4.196)
Определим коэффициенты а и b и свободные члены уравнений поправок.
Пользуясь табл. 4.49, из решения обратных геодезических задач по предварительным координатам точек 1 и 2 вычислим предварительные значения дирекционных углов:
-
исходный дирекционный угол;
-
исходный дирекционный угол.
При вычислении коэффициентов а и b значения s следует подставлять в км, угловые поправки в этом случае выражаются в секундах, а линейные поправки – в дециметрах. Коэффициенты а и b следует вычислять до 0,001.
Вычисляем по приведенным формулам значения свободных членов уравнений поправок:
С учетом полученных значений коэффициентов и свободных членов, а также значений sin и cos дирекционных углов соответствующих направлений составим окончательно уравнения поправок.
(4.197)
Составим матрицу коэффициентов, свободных членов и весов. Значения весов вычислены в примере коррелатного способа уравнивания.
Шаг 6. Составление и решение системы нормальных уравнений для определения поправок в координаты пунктов 1 и 2.
Правила составления указанных уравнений подробно рассмотрены в предыдущих примерах уравнивания параметрическим способом.
(4.198)
Таблица 4.50
Значения коэффициентов уравнений поправок, свободных членов и весов
j→ i↓ |
1(ξ1) |
2(η1) |
3(ξ2) |
4(η2) |
li |
pi |
1(β1) |
-15,543 |
+5,709 |
0 |
0 |
-1,8 |
1 |
2(β2) |
+36,423 |
-0,938 |
-20,880 |
-4,771 |
-0,5 |
1 |
3(β3) |
-20,880 |
-4,771 |
+24,898 |
-14,785 |
-1,3 |
1 |
4(β4) |
0 |
0 |
-4,018 |
+19,556 |
+0,1 |
1 |
5(s1) |
+0,3447 |
+0,9387 |
0 |
0 |
-0,04 |
1,221 |
6(s2) |
0,2228 |
-0,9749 |
-0,2228 |
+0,9749 |
-0,04 |
2,041 |
7(s3) |
0 |
0 |
-0,9795 |
-0,2013 |
+0,03 |
1,778 |
Из решения системы уравнений (4.198) получим:
Шаг 7. Вычисление уравненных значений измеренных углов, расстояний и координат.
После подстановки полученных значений поправок в координаты в уравнения (188) получим величины поправок в значения измеренных углов и расстояний:
Обратим внимание на то, что сумма поправок в углы на 0,1" больше, чем угловая невязка. Это является результатом округлений полученных в расчетах величин. В связи с этим поправку в угол 4, как меньшую из полученных, уменьшим на 0,1" (по ее абсолютной величине). Здесь мы не будем вычислять уравненные значения углов и расстояний, а выполним это непосредственно в шаге 8 в табл. 4.51) контроля уравнивания результатов измерений.
Вычислим уравненные значения координат пунктов 1 и 2:
Шаг 8. Контроль уравнивания.
Для контроля уравнивания выполним вычисление координат пунктов 1 и 2 в ведомости (табл. 4.51), измеренные величины в которой заменим на уравненные их значения. Совпадение вычисленных координат пунктов 1 и 2 с уравненными, вычисленными в шаге 7, покажет правильность решения задачи.
Таблица 4.51
Ведомость уравнивания полигонометрического хода
№№ точек |
Гориз.углы β |
Дирекц.углы α |
Рассто-яния s , м |
Приращения координат, м |
Координаты, м |
№№ точек |
||
|
|
|
|
|||||
А |
|
|
|
|
|
|
|
A |
137°13'16,4" |
|
|
|
|||||
В |
112°36'44,5"
|
8365,344 |
5240,647 |
B |
||||
69°50'00,9" |
1245,633 |
+429,430
|
+1169,270
|
|||||
1 |
213°02'15,9"
|
8794,774 |
6409,917 |
1 |
||||
102°52'16,8" |
963,007 |
-214,522
|
+938,809
|
|||||
2 |
88°44'25,8"
|
8580,252
|
7348,726 |
2 |
||||
11°36'42,7" |
1033,162 |
+1012,017
|
+207,955
|
|||||
С |
269°22'03,2"
|
9592,269 |
7556,681 |
C |
||||
100°58'45,8"
|
|
|
|
|||||
D |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
Наблюдаем практически полное совпадение с вычислениями в шаге 7. Небольшие (до 1 мм) отклонения являются практически следствием округлений.