1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
Мерой расхождения эмипирического и теоретического распределений является величина , определяемая по формуле (1.30):
.
Если для всех ri разности (ri – pi) = 0, то и = 0. Это означает, что сравниваемые рапсределения точно совпадают. Чем больше отличается от нуля, тем больше расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями.
Величина имеет распределение с
(1.44)
степенями свободы, где К – число групп эмпирического распределения (для интервального вариационного ряда – число классов); S – число параметров теоретического распределения, найденных на основе характеристик эмпирического распределения; число условий, налагаемых на относительные частоты (частости).
Например, для нормального закона распределения S = 3, поскольку
1)
;
2)
;
3)
,
(1.45)
где M(X) = xO – математическое ожидание; D – дисперсия. Асимметрия и эксцесс нормального распределения равны нулю.
Для асимметричных распределений и распределений, имеющих эксцесс, например, для распределения Шарлье, S = 5, поскольку
1) ; 2) ; 3) ; (1.46)
4)
;
5)
,
где
- показатель асимметрии;
- показатель эксцесса.
По
значениям xO
и D
устанавливают параметры теоретического
распределения, с которым сопоставляют
эмпирическое распределение, находят
для центров интервалов вариационного
ряда значения рOi
вероятностей
теоретического распределения, затем
умножают эти вероятности на ширину h
классового интервала, в результате чего
определяют вероятности рi
= hpOi.
Далее составляют таблицу для вычисления
,
находят это значение по формуле (1.130).
Пользуясь таблицей приложения 6, по
величине
и значению степени свободы
определяют искомую величину вероятности
Р,
характеризующую согласованность
эмпирического распределения с
теоретическим распределением.
В следующих примерах приводится указанный выше порядок вычислений для сопоставления эмпирического и различных теоретичеких распределений с использованием критерия согласия К.Пирсона.
Пример 1.26. Выполнить исследование с помощью критерия согласия К.Пирсона на согласование с законом равномерного распределения эмпирического распределения, заданного интервальным вариационным рядом, представленным в табл. 1.4.
Принять критическое значение βКР = 0,05.
Решение.
Математическое ожидание СО = 361 г/м3, дисперсия D = 39204, стандарт σ = 198 г/м3 (значения выбраны из примеров 1.2 и 1.6).
Для равномерного распределения (см. п. 1.6.2)
;
;
. (1.147)
Подставим известные значения математического ожидания и стандарта в формулы (1.147) и вычислим искомые коэффициенты a и b: а = 18,06; b = 703,95.
Вычисляем
вероятность
=
0,00146.
Вычисляем
плотность вероятности для ширины
классового интервала h
= 117 г/м3:
=
117·0,00146 = 0,17.
Составим расчетную таблицу, в которой для первого и последнего интервалов примем p1 = p7 = 0,17/2 = 0,085.
Таблица 1.27
К примеру 1.26
№№ п/п |
СО, г/м3 |
ri |
pi |
(ri – pi) |
(ri – pi)2 |
(ri – pi)2 pi |
1 |
122 |
0,20 |
0,085 |
+0,115 |
0,0132 |
0,1556 |
2 |
239 |
0,28 |
0,17 |
+0,11 |
0,0121 |
0,0712 |
3 |
356 |
0,19 |
0,17 |
+0,02 |
0,0004 |
0,0024 |
4 |
473 |
0,14 |
0,17 |
-0,03 |
0,0009 |
0,0053 |
5 |
590 |
0,10 |
0,17 |
-0,07 |
0,0049 |
0,0288 |
6 |
707 |
0,05 |
0,17 |
-0,12 |
0,0144 |
0,0847 |
7 |
824 |
0,05 |
0,085 |
-0,035 |
0,0012 |
0,0144 |
|
|
1,01 |
1,02 |
-0,01 |
|
0,3624 |
По формуле (1.130) вычисляем (при n = 80) = 80·0,3624 = 28,992 ≈ 29.
Число
степеней свободы определяют по формуле
(1.144). К
– число элементов статистической
таблицы (в данном случае – число классов
интервального вариационного ряда: К
= 7); S – число параметров
равномерного распределения, определяемых
по параметрам эмпирического распределения:
сумма частостей; математическое ожидание;
дисперсия; медиана; (S
= 4). Следовательно,
.
По
таблице приложения 5 интерполированием
для
=
29 и
находим искомую вероятность (р
– весьма малая величина).
Вывод: поскольку р < βКР, то эмпирическое рапределение можно считать не согласующимся с теоретическим равномерным распределением.
Пример 1.27. Выполнить исследование с помощью критерия согласия К.Пирсона на согласование с нормальным законом распределения эмпирического распределения, заданного интервальным вариационным рядом, представленным в табл. 1.4.
Принять критическое значение βКР = 0,05.
Решение.
Математическое ожидание СО = 361 г/м3, дисперсия D = 39204, стандарт σ = 198 г/м3 (значения выбраны из примеров 1.2 и 1.6).
Составим формулу плотности вероятности для нормального закона распределения с параметрами СО и σ:
.
(1.148)
Подставим в формулу (1.148) значения центров интервалов и вычислим искомые вероятности (для h = 117 г/м3). Далее выполним вычисления в таблице, аналогичные вычислениям, приведенным в примере 1.37.
Таблица 1.28
К примеру 1.27
№№ п/п |
СО, г/м3 |
ri |
р(1.148) |
pi |
(ri – pi) |
(ri – pi)2 |
(ri – pi)2 pi |
1 |
122 |
0,20 |
0,00097 |
0,11 |
+0,09 |
0,0081 |
0,0736 |
2 |
239 |
0,28 |
0,00167 |
0,20 |
+0,08 |
0,0064 |
0,0320 |
3 |
356 |
0,19 |
0,002014 |
0,24 |
-0,05 |
0,0025 |
0,0104 |
4 |
473 |
0,14 |
0,001717 |
0,20 |
-0,06 |
0,0036 |
0,0180 |
5 |
590 |
0,10 |
0,001032 |
0,12 |
-0,02 |
0,0004 |
0,0033 |
6 |
707 |
0,05 |
0,000438 |
0,05 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
7 |
824 |
0,05 |
0,000131 |
0,02 |
+0,03 |
0,0009 |
0,0450 |
|
|
1,01 |
|
0,94 |
+0,07 |
|
0,1823 |
По формуле (1.130) вычисляем (при n = 80) = 80·0,1823 = 14,6.
Число
степеней свободы: К
= 7; S – число параметров
нормального распределения, определяемых
по параметрам эмпирического распределения:
сумма частостей; математическое ожидание;
дисперсия; (S = 3).
Следовательно,
.
По
таблице приложения 5 интерполированием
для
=
14,6 и
находим
искомую вероятность р
= 0,006.
Вывод: поскольку р < βКР, то эмпирическое рапределение можно считать не согласующимся с теоретическим нормальным распределением.
Пример 1.28. Выполнить исследование с помощью критерия согласия К.Пирсона на согласование с законом γ-распределения эмпирического распределения, заданного интервальным вариационным рядом, представленным в табл. 1.4.
Принять критическое значение βКР = 0,05.
Решение.
Математическое ожидание СО = 361 г/м3, дисперсия D = 39204, стандарт σ = 198 г/м3 (значения выбраны из примеров 1.2 и 1.6).
Воспользуемся ранее полученными данными (см. табл. 1.26).
Таблица 1.29
К примеру 1.28
№№ п/п |
СО, г/м3 |
ri |
pi |
(ri – pi) |
(ri – pi)2 |
(ri – pi)2 pi |
1 |
122 |
0,20 |
0,21 |
-0,01 |
0,0001 |
0,0005 |
2 |
239 |
0,28 |
0,28 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
3 |
356 |
0,19 |
0,23 |
-0,04 |
0,0016 |
0,0070 |
4 |
473 |
0,14 |
0,16 |
-0,02 |
0,0004 |
0,0025 |
5 |
590 |
0,10 |
0,10 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
6 |
707 |
0,05 |
0,05 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
7 |
824 |
0,05 |
0,03 |
+0,02 |
0,0004 |
0,0133 |
|
|
1,01 |
1,06 |
-0,05 |
|
0,0233 |
По формуле (1.130) вычисляем (при n = 80) = 80·0,0233 = 1,864.
Число
степеней свободы: К
– число элементов статистической
таблицы (в данном случае – число классов
интервального вариационного ряда: К
= 7); S – число параметров
равномерного распределения, определяемых
по параметрам эмпирического распределения:
сумма частостей; математическое ожидание;
дисперсия; медиана; (S
= 5). Следовательно,
.
По
таблице приложения 5 интерполированием
для
=
1,864 и
находим искомую вероятность р
= 0,4003.
Вывод: поскольку р < βКР, то эмпирическое рапределение можно считать согласующимся с теоретическим γ-распределением.
Пример 1.29. Выполнить исследование с помощью критерия согласия К.Пирсона на согласование с законом распределения Шарлье эмпирического распределения, заданного интервальным вариационным рядом, представленным в табл. 1.4.
Принять критическое значение βКР = 0,05.
Решение.
Математическое ожидание СО = 361 г/м3, дисперсия D = 39204, стандарт σ = 198 г/м3 (значения выбраны из примеров 1.2 и 1.6).
Воспользуемся ранее полученными данными (см. табл. 1.24).
Таблица 1.30
К примеру 1.29
№№ п/п |
СО, г/м3 |
ri |
pi |
(ri – pi) |
(ri – pi)2 |
(ri – pi)2 pi |
1 |
122 |
0,20 |
0,13 |
+0,07 |
0,0049 |
0,0377 |
2 |
239 |
0,28 |
0,24 |
+0,04 |
0,0016 |
0,0067 |
3 |
356 |
0,19 |
0,25 |
-0,06 |
0,0036 |
0,0144 |
4 |
473 |
0,14 |
0,17 |
-0,03 |
0,0009 |
0,0053 |
5 |
590 |
0,10 |
0,08 |
+0,02 |
0,0004 |
0,0050 |
6 |
707 |
0,05 |
0,05 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
7 |
824 |
0,05 |
0,03 |
+0,02 |
0,0004 |
0,0133 |
|
|
1,01 |
0,95 |
+0,06 |
|
0,0824 |
По формуле (1.130) вычисляем (при n = 80) = 80·0,0824 = 6,592.
Число степеней свободы: К – число элементов статистической таблицы (в данном случае – число классов интервального вариационного ряда: К = 7); S – число параметров равномерного распределения, определяемых по параметрам эмпирического распределения: сумма частостей; математическое ожидание; дисперсия; медиана; (S = 5). Следовательно, .
По таблице приложения 5 интерполированием для = 6,592 и находим искомую вероятность р = 0,038.
Вывод: поскольку р < βКР, то эмпирическое рапределение можно считать не согласующимся с теоретическим распределением Шарлье.