- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
В разделе 1.3.1 говорилось о средней квадратической случайной величины и методе ее определения. Однако для анализа разброса случайных величин эффективно использовать т.н. дисперсию, являющуюся квадратом среднего квадратического отклонения. При использовании дисперсии большие отклонения случайной величины от их среднего арифметического сказываются больше, чем малые.
Классическое определение дисперсии: это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
, (1.32)
где D(X) – дисперсия; Х – случайная величина; М(Х) – математическое ожидание случайной величины (М – знак математического ожидания).
Среднее квадратическое отклонение вычисляют по формулам:
(1.33)
при значениях n меньше 20,
(1.34)
при значениях n больше 20,
, (1.35)
, (1.36)
где хО – средняя арифметическая вариационного ряда; хОi – средняя арифметическая интервала i ; ki – частота интервала; ri – относительная частота (частость) интервала; К – число интервалов (классов) вариационного ряда; n – объем совокупности.
В соответствии с определением дисперсии
. (1.37)
При обработке вариационных рядов используют основные свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Свойство 2. Дисперсия, полученная по квадратам разностей случайной величины с их средней арифметической, является минимальной по сравнению с дисперсиями, вычисленными по отклонениям вариантов от любой другой постоянной величины С, т.е.
< . (1.38)
Свойство 3. Если все варианты хi уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное число С, то величина дисперсии не изменится:
. (1.39)
Свойство 4. Если все варианты уменьшить или увеличить в L раз, то дисперсия соответственно увеличится или уменьшится в L2 раз:
, (1.40)
. (1.41)
Свойство 5. Если ряд наблюдений слагается из m групп наблюдений, то дисперсия D всего ряда наблюдений равна сумме внутригрупповой D1 и межгрупповой D2 дисперсий:
. (1.42)
Внутригрупповая дисперсия D1 является средней арифметической всех групповых дисперсий, при этом весами являются также объемы групп.
Межгрупповая дисперсия D2 определяется по квадратам разностей отклонений средних значений по каждой группе, образующих общую совокупность, от общей средней арифметической хО всего ряда наблюдений. Весами являются объемы соответствующих групп.
Таким образом, можно записать, что
, . (1.43)
Пример 1.6. Вычислить средние квадратические отклонения (стандарты) для вариационных рядов табл. 1.2 и интервальных вариационных рядов табл. 1.3, 1.4 и 1.5.
Решение.
В примере 1.2 вычислены средние арифметические для рассматриваемых вариационных рядов. Используем их для вычисления стандартов (средних квадратических отклонений) и дисперсий.
г/м3.
г/м3.
г/м3.
г/м3.
Расхождения, так же, как и при вычислении средних значений содержания, составляют порядка 2%, что объясняется как округлением окончательных значений искомых величин, так и тем, что при вычислениях средних для интервальных вариационных рядов использованы не фактические значения средних, а средние значения интервалов.
D(1.2) = 1942 = 37636. D(1.3) = 1892 = 35721.
D(1.4) = 1982 = 39204. D(1.5) = 1882 = 35344.
Пример 1.7. Вычислить общую дисперсию содержания по двум разведочным линиям (РЛ№1 и РЛ№2), данные по которым приведены в табл. 1.1.
Решение.
Для вычислений используем формулы (1.42) и (1.43).
Количество данных по РЛ№1 m1 = 7, по РЛ№2 – m2 = 9.
Среднее арифметическое по РЛ№1 хО1 = (121+251+…+83):7 = 222,7 = 223 г/м3.
Среднее арифметическое по РЛ№2 хО2 = (116+256+…+147):9 = 268,4 = 268 г/м3.
Общее среднее весовое по РЛ№1 и РЛ№2 хО = (223·7 + 268·9):16 = 248,3 = 248 г/м3.
Вычисляем дисперсию по РЛ№1:
.
Вычисляем дисперсию по РЛ№2:
.
Вычисляем внутригрупповую дисперсию: .
Вычисляем межгрупповую дисперсию:
.
Вычисляем общую дисперсию: D = 12810 + 498 = 13308.