- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.7.5.4. Способ Линдеберга
Приводимый здесь способ Лидеберга называют еще упрощенным способом Линдеберга.
В данном способе выполняется сопоставление значений асимметрии и эксцесса со значениями их средних квадратических отклонений.
Если одновременно выполняются указанные ниже условия:
< 3 ; < 3 , (1.159)
то исследуемое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением.
В формуле (1.159)
; , (1.160)
где n – объем совокупности.
Для решения задачи способом Линдеберга достаточно иметь упорядоченный вариационный ряд, среднее арифметичекое ряда (хО) и стандартное отклонение σ.
Значение показателя асимметрии ряда оценивают по формуле
, (1.161)
где r – число значений признака, превышающих хО в данном объеме совокупности n.
Значение показателя эксцесса оценивают по формуле
, (1.162)
где ρ – число членов вариационного ряда, значения которых находятся в интервале (хО ± 0,5 σ).
Пример 1.35. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, представленного упорядоченным вариационным рядом в табл. 1.2, с нормальным распределением, пользуясь способом Линдеберга.
Решение.
Для упорядоченного вариационного ряда, представленного в табл. 1.2: объем совокупности n = 80; среднее арифметическое СО = 359 г/м3 (пример 1.2); стандарт σ = 194 г/м3 (пример 1.6).
Определим по упорядоченному ряду r = 37, ρ = 23 для диапазона (359 ± 82) г/м3.
Показатель асимметрии , показатель эксцесса .
Вычисляем ; .
Условие < 3; условие < 3.
Ответ: эмпирическое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением.
1.7.5.5. Критерий знаков
Критерий знаков часто используется в непараметрической статистике при исследовании вариационных рядов с небольшим объемом совокупности. Эффективность критерия знаков возрастает с увеличением объема выборки.
Считают, что эмпирическое распредсуется с нормальным распределением с вероятностью 0,95, если выполняется при этом условие:
, (1.163)
где n(+) и n(–) – соответственно число элементов вариационного ряда, преобразованного в ряд ошибок (из каждого элемента вычтено значение среднего арифметического); очевидно, что сумма n(+) и n(–) равна объему совокупности.
Можно не составлять ряд ошибок: число n(+) равно числу элементов вариационного ряда, занения которых превышают значение среднего арифметического, а n(–) равно числу элементов вариационного ряда, значения которых меньше среднего арифметического.
Пример 1.36. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, представленного упорядоченным вариационным рядом, приведенным в табл. 1.2, с нормальным распределением, используя критерий знаков.
Решение.
Среднее арифметическое для указанного упорядоченного вариационного ряда равно 359 г/м3 (см. пример 1.2).
В соответствии с табл. 1.2 n(+) = 37, n(–) = 43.
По формуле (1.163) определяем, что ( | 37 – 43 | = 6 ) < ( 1,96 = 17,5).
Ответ: эмпирическое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением.