1.3.6. Условные моменты q-го порядка

В п. 1.3.5 говорилось об условных моментах q-го порядка. Условные моменты используются для упрощения вычислений.

Например, можно взять значение С в формулах (1.51) близким к среднему арифметическому (значение С в таких случаях называют «ложным нулем»). Условный момент 1-го порядка (условные моменты обозначают буквой γ)

γ₁ = х_О – С . (1.67)

Центральные моменты связаны с начальными следующими зависимостями

;

; (1.68)

При обработке интервальных рядов удобно образовать новый интервальный ряд весьма простого вида – ряд натуральных чисел. Для этого начало С выбирают в интервале с наибольшей частотой равному среднему значению признака в модальном интервале, а значение каждого элемента ряда уменьшают на эту величину и делят на ширину h интервала. Таким образом интервальный ряд превращается в ряд натуральных чисел:

. (1.69)

В последующих разделах будут приводиться примеры таких преобразований. Указанные преобразования основаны на следующих свойствах центральных моментов.

Свойство 1. Все варианты ряда можно уменьшить или увеличить на одно и то же число С, при этом центральный момент q-го порядка не изменится.

Это свойство можно записать в виде:

. (1.70)

Свойство 2. Все варианты ряда можно увеличить или уменьшить в L раз, при этом центральный момент q-го порядка уменьшится или соответственно увеличится в L^q раз.

Это свойство можно записать в виде:

; . (1.71)

При одновременном изменении вариантов на числа С и L получают формулу для вычисления условного центрального момента:

. (1.72)

При обработке вариационных рядов сначала определяют условный центральный момент q-го порядка, а затем вычисляют центральный момент того же порядка для исходного вариационного ряда:

. (1.73)

Взаимосвязь между центральными и условными моментами определяется по формулам (1.61) с учетом коэффициента L увеличения (уменьшения) вариантов ряда:

;

; (1.74)

Сложность в обработке вариационных рядов по определению центральных моментов – кажущаяся. Как будет видно из следующего примера обработки, даже вычисления на обычном непрограммируемом калькуляторе не вызывают больших трудностей.

Пример 1.13. Определить асимметрию и эксцесс интервальных вариационных рядов, представленных в табл. 1.3, 1.4 и 1.5, используя условные моменты.

Решение.

Составим таблицы преобразования интервальных вариационных рядов.

Таблица 1.6

Преобразование интервального ряда по данным табл. 1.3.

Вычисление условных моментов

K = 6; h = 137 г/м³ (h = L)

№№ п/п	Среднее содержание в интервале СOi, г/м^3	Частота ki	Частость ri		yiri	yi^2ri	yi^3ri	yi^4ri
1	132	17	0,21	-1	-0,21	0,21	-0,21	0,21
2	269	24	0,30	0	0	0	0	0
3	406	20	0,25	1	0,25	0,25	0,25	0,25
4	543	9	0,11	2	0,22	0,44	0,88	1,76
5	680	6	0,08	3	0,24	0,72	2,16	6,48
6	817	4	0,05	4	0,20	0,80	3,20	12,80
		80	1,00		0,70 γ1	2,42 γ2	6,28 γ3	21,50 γ4

Таблица 1.7

Преобразование интервального ряда по данным табл. 1.4.

Вычисление условных моментов

K = 7; h = 117 г/м³ (h = L)

№№ п/п	Среднее содержание в интервале СOi, г/м^3	Частота ki	Частость ri		yiri	yi^2ri	yi^3ri	yi^4ri
1	122	16	0,20	-1	-0,20	0,20	-0,20	0,20
2	239	22	0,28	0	0	0	0	0
3	356	15	0,19	1	0,19	0,19	0,19	0,19
4	473	11	0,14	2	0,28	0,56	1,12	2,24
5	590	8	0,10	3	0,30	0,90	2,70	8,10
6	707	4	0,05	4	0,20	0,80	3,20	12,80
7	824	4	0,05	5	0,25	1,25	6,25	31,25
		80	1,01		1,02 γ1	3,90 γ2	13,26 γ3	54,78 γ4

Таблица 1.8

Преобразование интервального ряда по данным табл. 1.5.

Вычисление условных моментов

K = 8; h = 103 г/м³ (h = L)

№№ п/п	Среднее содержание в интервале СOi, г/м^3	Частота ki	Частость ri		yiri	yi^2ri	yi^3ri	yi^4ri
1	116	14	0,18	-1	-0,18	0,18	-0,18	0,18
2	219	19	0,24	0	0	0	0	0
3	322	12	0,15	1	0,15	0,15	0,15	0,15
4	425	16	0,20	2	0,40	0,80	1,60	3,20
5	528	8	0,10	3	0,30	0,90	2,70	8,10
6	631	5	0,06	4	0,24	0,96	3,84	15,36
7	734	4	0,05	5	0,25	1,25	6,25	31,25
8	837	2	0,02	6	0,12	0,72	4,32	25,92
		80	1,00		1,28 γ1	4,96 γ2	18,68 γ3	84,16 γ4

Примечание к таблицам 1.3, 1.4 и 1.5: сумма значений частостей может не получиться равной единице, как это получилось в табл. 1,4, что может оказаться следствием округлений результатов.

По формулам (1.74) находим центральные моменты, а затем, по формулам (1.59) и (1.60), вычисляем значения асиммертии и эксцесса.

Табл. 1.6.

= 137·0,70 + 269 = 364,9 = 365 г/м³.

= 137² (2,42 – 0,70²) = 36224,2 = 36224. 190,3 = 190 г/м³.

= 4844429,05 = 4844429.

= 3632135108.

Асимметрия ;

Эксцесс .

Табл. 1.7.

= 117·1,02 + 239 = 358,3 = 358 г/м³.

= 117² (3,90 – 1,02²) = 39145,1= 39145. 197,8 = 198 г/м³.

= 4844429,05 = 5523027,9 = 5523028.

= 4080813557.

Асимметрия ;

Эксцесс .

Табл. 1.8.

= 103·1,28 + 219 = 350,8 = 351 г/м³.

= 103² (4,96 – 1,28²) = 35238,9 = 35239. 187,7 = 188 г/м³.

= 4182854,05 = 4182854.

= 3289200488.

Асимметрия ;

Эксцесс .

Результаты показывают, что все распределения правосимметричные, имеют пологие вершины по сравнению с нормальным распределением.