4.2. Коррелатный способ уравнивания

Приведенная выше система уравнений (4.8) имеет нелинейный вид. В математике не существует способов решения таких систем нелинейных уравнений. В связи с этим данную систему уравнений раскладывают в ряд Тейлора, ограничиваясь только первыми членами разложения с учетом того, что значения поправок v_i достаточно малы (на основании выдержанных при измерениях допусков по точности), и вторые их степени будут весьма малыми, что ими можно пренебречь. В результате уравнения (4.8) преобразуются к виду:

(4.13)

……………………………………………………..

Введем обозначения:

(i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, r) , (4.14)

где i – номер измеренной величины (х); j – номер условного уравнения (или функции φ).

С учетом введенных обозначений получим:

а₁₁v₁ + a₂₁v₂ + … + a_n1v_n + W₁ = 0

а₁₂v₁ + a₂₂v₂ + … + a_n2v_n + W₂ = 0 (4.15)

……………………………………

а_1rv₁ + a_2rv₂ + … + a_nrv_n + W_r = 0

В обозначениях гауссовых сумм:

[a₁v] + W₁ = 0

[a₂v] + W₂ = 0 (4.16)

………………

[a_rv] + W_r = 0

Равенства (4.15) и (4.16) называются условными уравнениями поправок.

Следует иметь в виду, что формулы (4.14) не используются, если известно, что система уравнений (4.8) имеет линейный вид, т.е. коэффициенты a_ij известны.

Для решения задачи уравнивания способом Лагранжа необходимо составить следующую функцию:

, (4.17)

где - неопределенные множители Лагранжа.

Обозначим: , где - коррелаты. Тогда функцию (4.17) можно записать со значениями коррелат:

. (4.18)

Для определения поправок v_i , при которых функция (4.18) достигает минимума, найдем частные производные по аргументам v_i и приравняем их нулю:

(4.19)

………………………………………..

Из полученной системы уравнений следует, что

(i= 1, 2, …, n) (4.20)

или

, (4.21)

где - обратный вес измерения с индексом i.

Уравнения (4.20) и (4.21) называют коррелатными уравнениями поправок.

Число коррелат всегда равно числу условий. В результате образуется система коррелатных уравнений поправок v_i , содержащая n неизвестных поправок v_i и r неизвестных коррелат k_j , состоящая из (n+r) линейных уравнений.

Опуская промежуточные, хотя и важные преобразования , основанные на методе наименьших квадратов, приведем т.н. нормальные уравнения коррелат, в которых число неизвестных равно числу уравнений:

(4.22)

…………………………………………

………………………………………….

В уравнениях (4.22) неизвестными являются коррелаты k_i , а свободными членами – свободные члены уравнений поправок (4.15) и (4.16).

Как видно, при каждом параметре (неизвестном) k_i в уравнениях (4.22) стоит коэффициент в виде гауссовой суммы. Представим указанные коэффициенты в развернутом виде с помощью таблицы коэффициентов уравнений поправок (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Общий вид матрицы коэффициентов a_ij и обратных весов q_i уравнений поправок

i j	1	2	3	…	i	…	n
1	a11	a21	a31	…	ai1	…	an1
2	a12	a22	a32	…	ai2	…	an2
3	a13	a23	a33	…	ai3	…	an3
…	…	…	…	…	…	…	…
j	a1j	a2j	a3j	…	ajj	…	anj
…	…	…	…	…	…	…	…
r	a1r	a2r	a3r	…	ajr	…	anr
qi	q1	q2	q3	…	qi	…	qn

Развернутый вид коэффициентов , в которых индекс при коэффициентах а – это второй индекс коэффициентов условных уравнений поправок:

……………………………………………… (4.23)

………………………………………………

Рассмотрим подробнее принцип вычисления коэффициентов b_jj при коррелатах k_j в нормальных уравнениях коррелат.

1-е уравнение коррелат.

Коэффициент при k₁ равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов первой строки матрицы.

Коэффициент при k₂ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и 2-й строк матрицы.

Коэффициент при k₃ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и 3-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при k_j равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и j-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при k_r равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и r-й строк матрицы.

2-е уравнение коррелат.

Коэффициент при k₁ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и 1-й строк матрицы.

Коэффициент при k₂ равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов 2-й строки матрицы.

Коэффициент при k₃ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и 3-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при k_j равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и j-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при k_r равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и r-й строк матрицы.

3-е уравнение коррелат.

Коэффициент при k₁ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и 1-й строк матрицы.

Коэффициент при k₂ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и 2-й строк матрицы.

Коэффициент при k₃ равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов 3-й строки матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при k_j равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и j-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при k_r равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и r-й строк матрицы.

…………………………………………………………………………………

j-е уравнение коррелат.

Коэффициент при k₁ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j-й и 1-й строк матрицы.

Коэффициент при k₂ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j-й и 2-й строк матрицы.

Коэффициент при k₃ равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов j-й и 3-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при k_j равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов j-й строки матрицы.

Коэффициент при k_j+1 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j –й и ( j+1)-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при k_r равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j-й и r-й строк матрицы.

r-е уравнение коррелат.

Коэффициент при k₁ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r-й и 1-й строк матрицы.

Коэффициент при k₂ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r-й и 2-й строк матрицы.

Коэффициент при k₃ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r –й и 3-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при k_j равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r-й и j-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при k_r равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов r-й строки матрицы.

Указанным образом получают уравнения коррелат вида:

b₁₁k₁ + b₁₂k₂ + b₁₃k₃ + …+ b_1jk_j + …+ b_1rk_r + W₁ = 0

b₂₁k₁ + b₂₂k₂ + b₂₃k₃ + …+ b_2jk_j + …+ b_2rk_r + W₂ = 0

b₃₁k₁ + b₃₂k₂ + b₃₃k₃ + …+ b_3jk_j + …+ b_3rk_r + W₃ = 0

………………………………………………………. (4.24)

b_j1k₁ + b_j2k₂ + b_j3k₃ + …+ b_jjk_j + …+ b_jrk_r + W_j = 0

……………………………………………………….

b_r1k₁ + b_r2k₂ + b_r3k₃ + …+ b_rjk_j + …+ b_rrk_r + W_r = 0

Можно заметить, что коэффициенты b с обратными индексами равны между собой, т.е. b₁₂ = b₂₁, b₃₅ = b₅₃ и т.п. Так называемые диагональные коэффициенты b_jj представляют собой сумму произведений обратных весов и квадратов коэффициентов а j–й строки, т.е. они всегда положительные. Коэффициенты b с обратными индексами располагаются с разных сторон от диагональной строки. В связи с этим достаточно вычислить диагональные коэффициенты и все коэффициенты, стоящие справа от диагонали. А далее дополнить уравнения недостающими коэффициентами b, записав их такими же, как и коэффициенты с обратными им индексами.

Решение систем линейных уравнений (4.24) выполняется различными способами, но все они весьма громоздкие и требуют значительных затрат времени. Принципы решения таких систем уравнений изложены в разделе 9.

Полученные из решения уравнений (4.24) коррелаты k_j используются для вычисления поправок v_i по формулам (4.20) или (4.21). После введения поправок в измеренные величины получают уравненные значения измеренных величин (4.7).

При оперировании численными значениями коэффициентов условных уравнений, коррелат, весов (обратных весов) и т.п. необходимо иметь ввиду следующее:

- значения весов и обратных им величин вычислять до 0,01-0,001 единиц;

- значения коэффициентов a, b и коррелат k вычислять до 0,001-0,0001 единиц;

- чаще всего невязки W при обработке плановых построений выражают в дециметрах, в высотных сетях – в миллиметрах, угловые невязки и поправки выражают в секундах, десятых и сотых долях секунды.

Суммируя сказанное выше, приведем последовательность решения задачи уравнивания коррелатным способом.

Шаг 1. Для данного геодезического построения в системе n результатов x_i , имеющих веса p_i, определяют число k независимых и число r избыточных измерений.

Шаг 2. Составляют математические соотношения (условные уравнения) вида (4.5) с учетом следующих основных требований:

- все условные уравнения должны быть независимыми, т.е. ни одно из них не должно быть следствием другого (других);

- число уравнений должно быть равно числу избыточных измерений r;

- условные уравнения должны иметь возможно простой вид.

Шаг 3. Условные уравнения приводят к линейному виду, для чего выполняют их дифференцирование и находят коэффициенты a_ij (4.10) как частные производные функций φ_j по аргументам x_i .

Находят свободные члены W_j уравнений, т.е. невязки в полученных уравнениях после подстановки в них измеренных значений x_i.

Составляют таблицу (матрицу) коэффициентов a_ij и обратных весов q_i (табл. 4.1).

Шаг 4. Находят коэффициенты b_jj (4.23) нормальных уравнений коррелат (4.24) по алгоритму, изложенному выше, и решают полученную систему линейных уравнений одним из способов, рассмотренных далее, либо другим, известным Вам способом.

После получения значений коррелат k_j из решения уравнений обязательно необходимо выполнить контроль вычислений. Для этого значения коррелат подставляют в исходные уравнения (4.10) и проверяют выполнение условия. Незначительные отступления от условия уравнения допускаются, они возникают из-за округления результатов вычислений.

Шаг 5. Составляют, пользуясь табл. 4.1, условные уравнения поправок ν_i (4.15), (4.20) или (4.21). Для значений поправок, например, получим:

ν₁ = q₁(a₁₁k₁ + a₁₂k₂ + …+ a_1jk_j +…+ a_1rk_r)

ν₂ = q₂(a₂₁k₁ + a₂₂k₂ + …+ a_2jk_j +…+ a_2rk_r)

ν₃ = q₃(a₃₁k₁ + a₃₂k₂ + …+ a_3jk_j +…+ a_3rk_r)

………………………………………….. (4.25)

ν_n = q_n(a_n1k₁ + a_n2k₂ + …+ a_njk_j +…+ a_nrk_r)

Вычисляют поправки к измеренным величинам.

После вычисления поправок необходимо выполнить контроль вычислений. Для этого значения поправок следует подставить в условные уравнения поправок (4.15) и проверить выполнение указанного условия. Незначительные отклонения от указанного условия допускаются, они возникают из-за округления результатов вычислений.

Шаг 6. Вычисляют уравненные значения x_i^' (4.4).

Контроль уравнивания осуществляют подстановкой x_i^' в условные уравнения (4.7). При правильном решении задачи все условные уравнения должны иметь указанное решение. Допускаются незначительные отклонения от указанных условий, они возникают из-за округления результатов вычислений.

После выполнения контроля уравнивания значения x_i^' округляют с необходимой точностью и вычисляют искомые величины (координаты, высоты и т.п.).

Если условные уравнения изначально существенно нелинейны и при разложении в ряд Тейлора, вообще говоря, недостаточно ограничиваться первыми членами разложения, то условия (4.7) могут не выполниться. В этом случае производят второе приближение уравнивания, считая уравненные из первого приближения значения x_i^' измеренными, а свободными членами W_j – отклонения от нуля в уравнениях (4.7).

Далее будут рассмотрены примеры уравнивания различных геодезических и маркшейдерских построений коррелатным способом.