- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.3.3. Показатели вариации
Одним из показателей вариации является т.н. вариационный размах, который находится по граничным значениям элементов вариационного ряда:
. (1.44)
Однако указанный показатель используется сравнительно редко, поскольку во многих случаях верхняя граница вариационного ряда не всегда является показательной. Например, для содержания полезного ископаемого верхней границей может оказаться ураганное его значение. Хотя и существуют способы ограничения проб с ураганным содержанием, но эти способы не всегда эффективны.
В основу вычисления другого показателя вариации входят абсолютные значения разностей (хi – xO):
или . (1.45)
Показателями вариации, как мера рассеяния, служат также рассмотренные выше дисперсия и стандарт (среднее квадратическое отклонение).
Часто используют относительный показатель вариации, называемый коэффициентом вариации (обозначается буквой V). Он определяется по формуле
, (1.46)
т.е. он соответствует отношению стандарта к среднему значению признака. Чаще его выражают в процентах. Иногда коэффициент вариации записывают и в виде простых и десятичных дробей: 1/10, ¼, 0,45 и т.п.
При ограниченном числе наблюдений выполняют оценку надежности коэффициента вариации по формуле
. (1.47)
Если 3mV < V, то результат считают надежным.
Приведем примеры вычисления показателей вариации для данных, приведенных в табл. 1.2, 1.3, 1.4 и 1.5.
Пример 1.8. Вычислить показатели вариации для данных табл. 1.2 и1.3.
Табл. 1.2.
Размах: R = 886 – 64 = 822 г/м3.
г/м3.
Коэффициент вариации (по формуле (1.46)): или 0,54.
Оценка надежности коэффициента вариации по формуле (1.47):
; 3mV = 3·5,37 = 16% < 54%. Результат надежный.
Табл. 1.3.
Размах (по средним значениям интервалов): R = 818 – 133 = 685 г/м3.
г/м3.
Коэффициент вариации: или 0,52.
Надежность коэффициента вариации: . Результат надежный.
1.3.4. Медиана и мода
Медианой является значение варианта упорядоченного вариационного ряда, соответствующего его середине.
Если число элементов n ряда нечетное, то медианой является значение варианта с индексом
. (1.48)
Если число элементов ряда четное, то медиану определяют по среднему арифметическому значению варианов ряда, находящихся в его середине:
. (1.49)
Примеры определения медианы вариационного ряда.
Пример 1.9. Найти меридиану упорядоченного вариационного ряда, представленного в табл 1.2.
Решение.
Число элементов ряда четное (n = 80). Следовательно, середине ряда соответствуют варианты с номерами 40 и 41: С40 = 309 г/м3; С41 = 326 г/м3.
Ме = (309 + 326):2 = 317,5 г/м3.
Пример 1.10. Найти медиану вариационного ряда, представленного значениями содержания по разведочной линии РЛ№2 (табл. 1.1).
Решение.
Предварительно образуем упорядоченный вариационный ряд: 116, 147, 151, 240, 256, 309, 376, 383, 438 (n = 9).
Медианой, в соответствии с формулой (1.48), является вариант С5 = 256 г/м3.
Кроме указанного приема определения медианы существует и графический способ, о котором будет сказано далее в п. 1.4.3.
Мода характеризует наиболее часто встречающийся вариант в рассматриваемой совокупности. Для дискретного вариационного ряда мода соотвествует примерно середине интервала, имеющего наибольшую частоту. Численное значение моды определяют по формуле:
, (1.50)
где хmod(min) – нижняя граница модального интервала (в значениях единиц измерения признака); h – ширина модального интервала (в значениях единиц измерения признака); kmod – частота модального интервала; kmod-1 – частота соседнего с модальным интервала, номер класса которого на единицу меньше номера класса модального интервала; kmod+1 – частота соседнего с модальным интервала, номер класса которого на единицу больше номера класса модального интервала.
Пример 1.11. Определить моды интервальных вариационных рядов, представленных в табл. 1.3, 1.4 и 1.5.
Решение.
Табл. 1.3. Модальный интервал соответствует 2-му классу (k2 = 24). Соседние немодальные интервалы имеют k1 = 17 и k3 = 20. Ширина интервала h = 137 г/м3. Нижняя граница модального интервала хmod(min) = 202 г/м3.
Получим: г/м3.
Табл. 1.4. Модальный интервал соответствует 2-му классу (k2 = 22). Соседние немодальные интервалы имеют k1 = 16 и k3 = 15. Ширина интервала h = 117 г/м3. Нижняя граница модального интервала хmod(min) = 182 г/м3.
Получим: г/м3.
Табл. 1.5. Модальный интервал соответствует 2-му классу (k2 = 19). Соседние немодальные интервалы имеют k1 = 14 и k3 = 12. Ширина интервала h = 103 г/м3. Нижняя граница модального интервала хmod(min) = 168 г/м3.
Получим: г/м3.
Необходимо обратить внимание на следующее. В табл. 1.5 усматривается двухмодальное распределение, которое выявилось при разбивке на 8 классов (интервалов): модальный интервал 2 и модальный интервал 4. Вполне вероятно, что это произошло из-за недостатка данных. Однако не исключена и вероятность того, что двухмодальное распределение – закономерное. Например, в рассматриваемом вариационном ряду исследуются элементы, образованные различными объектами (см. рис. 1.1) – двумя продуктивными пластами.
Рис. 1.1. Геологический разрез
Возможны и другие причины. Данный пример приведен для того, чтобы при выявлении каких-либо особенностей в распределении признака исследовались все возможные факторы, которые могут повлиять на вид и характер распределения.