4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
При решении задачи уравнивания систем полигонометрических ходов с одной или несколькими узловыми точками устанавливают число независимых полигонометрических ходов, включающих данные узловые точки и узловые линии. Для каждого из выбранных ходов составляют три уравнения поправок (4.195), как это выполняется для одиночного полигонометрического хода (см. раздел 4.7.3).
Решение указанной задачи рассмотрим на примере системы полигонометрических ходов с теми же исходными данными (раздел 4.6.4).
Шаг 1.Общее число измерений n = 19, число необходимых измерений k= =10, число избыточных измерений r = 9.
Шаг 2. Выбор параметров tj.
В качестве параметров tj выбираем координаты точек 1, 2, 3, М и N: x1 = t1, y1 = t2 ; x2 = t3, y2 = t4 ; x3 = t5 , y3 = t6 ; xM = t7 , yM = t8 ; xN = t9 , yN = t10 .
Шаг. 3. Выражение измеренных величин через выбранные параметры по аналогии с формулами (4.192), (4.193) и (4.194).
Для этого примем для расчетов три независимых полигонометрических хода: (1): А-В-1-M-F-E; (2): A-B-1-M-N-2-C-D; (3): H-G-3-N-2-C-D (как и при уравнивании коррелатным способом).
Предлагаем самостоятельно составить соответствующие формулы.
Шаг 4. Определение приближенных значений tj0 параметров tj.
Таблица 4.52
Ведомость предварительного уравнивания системы полигонометрических ходов
№№ точек |
Гориз.углы β |
Дирекц.углы α |
Рассто-яния s , м |
Приращения координат, м |
Координаты, м |
№№ точек |
||
Δх |
Δу |
Х |
Y |
|||||
A |
|
|
|
Ход (1) |
|
|
|
|
71°08'14,3" |
|
|
|
|||||
B |
226°15'25" +0,9" |
7183,652 |
4380,124 |
B |
||||
117°23'40,2" |
475,885 |
-218,962 -2 |
+422,519 -2 |
|||||
1 |
201°36'36" +1,0" |
6964,688 |
4802,641 |
1 |
||||
139°00'17,2" |
693,027 |
-523,072 -3 |
+454,623 -4 |
|||||
M |
280°34'07" +0,9" |
6441,613 |
5257,260 |
M |
||||
239°34'25,1" |
625,329 |
-316,686 -3 |
-539,209 -3 |
|||||
F |
84°46'52" +0,9" |
6124,924
|
4718,048
|
F |
||||
144°21'18,0"
|
∑d 1794,241 |
Wx +8 мм |
Wy +9 мм |
|||||
Е |
793°13'00,0" 793°13'03,7" -3,7" |
|
|
|
||||
|
|
Ход (2) |
|
|||||
А |
|
|
|
|
||||
71°08'14,3" |
|
|
|
|||||
В |
226°15'25" +0,9"
|
7183,652 |
4380,124 |
B |
||||
117°23'39,3" |
475,885 |
-218,962 -3 |
+422,519 -1 |
|||||
1 |
201°36'36" +0,9" |
6964,687 |
4802,642 |
1 |
||||
139°00'15,3" |
693,027 |
-523,072 -4 |
+454,623 -1 |
|||||
M |
85°02'31" +0,9" |
6441,611 |
5257,264 |
M |
||||
44°02'46,3" |
857,338 |
+616,229 -6 |
+596,062 -2 |
|||||
N |
170°15'07" +0,9" |
7057,834 |
5853,324 |
N |
||||
34°17'53,3" |
401,239 |
+331,466 -3 |
+226,104 -1 |
|||||
2 |
172°53'18" +0,9" |
7389,297 |
6079,427 |
2 |
||||
27°11'11,3"
|
841,215 |
+748,273 -5 |
+384,357 -2 |
|||||
C |
271°07'58" +0,9" |
8137,565 |
6463,782 |
С |
||||
118°19'14,7"
|
∑d 3268,704 |
Wx +21 мм |
Wy +7 мм |
|||||
D |
1127°10'55,0" 1127°11'00,4" -5,4" |
|
|
|
||||
|
|
Ход (3) |
|
|||||
H |
|
|
|
|
||||
339°58'14,2"
|
|
|
|
|||||
G |
78°21'28" +1,3" |
7894,521 |
7173,596 |
G |
||||
238°19'42,2"
|
573,421 |
-301,072 -3 |
-488,024 +3 |
|||||
3 |
178°54'26" +1,3" |
7593,446 |
6685,575 |
3 |
||||
237°14'08,2"
|
989,716 |
-535,610 -6 |
-832,262 +5 |
|||||
N |
337°03'44" +1,3" |
7057,830 |
5853,318 |
N |
||||
34°17'52,2"
|
401,239 |
+331,467 -2 |
+226,102 +2 |
|||||
2 |
172°53'18" +1,3" |
7389,295 |
6079,422 |
2 |
||||
27°11'10,2"
|
841,215 |
+748,274 -4 |
+384,356 +4 |
|||||
C |
271°07'58"
|
8137,565 |
6463,782 |
С |
||||
118°19'14,7"
|
∑d 2805,591 |
Wx +15 мм |
Wy -14 мм |
|||||
D |
1038°20'54,0" 1038°21'00,5" -6,5"
|
|
|
|
||||
Для этого по каждому из ходов выполним расчеты, с использованием способа раздельного уравнивания, как это выполняется при обработке разомкнутого теодолитного хода. Расчеты приведены в табл. 4.52.
Приближенные значения параметров из уравнивания раздельным способом приведены в табл. 4.53.
Таблица 4.53
Приближенные значения координат
Пункты |
1 |
2 |
3 |
M |
N |
X, м |
6964,6875 |
7389,2960 |
7593,4460 |
6441,6120 |
7057,8320 |
Y, м |
4802,6415 |
6079,4245 |
6685,5750 |
5257,2620 |
5853,3210 |
Шаг 5. Приведение функций взаимосвязи измеренных величин к линейному виду, вычисление коэффициентов a и b и свободных членов l уравнений поправок.
Запишем уравнения поправок в измеренные величины с учетом того, что погрешности исходных данных приняты нами равными нулю.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(4.199)
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Пользуясь таблицами 4.52 и 4.53, найдем из решения обратных геодезических задач предварительные значения дирекционных углов и расстояний (табл. 4.54).
Вычислим коэффициенты условных уравнений поправок (табл. 4.55).
Таблица 4.54
Предварительные значения дирекционных углов и расстояний
Направ-ление |
Дирекционный угол |
Расстояние, м |
Направ-ление |
Дирекционный угол |
Расстояние, м |
В-1 |
117o23'41,6" |
475,8850 |
2-C |
27o11'16,3" |
841,2117 |
1-М |
139o00'18,4" |
693,0280 |
M-F |
239o34'25,3" |
625,3343 |
M-N |
44o02'50,0" |
857,3292 |
G-3 |
238o19'41,9" |
573,4201 |
N-2 |
34o17'57,5" |
401,2371 |
3-N |
237o14'09,1" |
989,7116 |
Таблица 4.55
Коэффициенты условных уравнений поправок
-
a
b
Cos αB1o = -0,46012
Sin αB1o = 0,88786
B1
38,4828
19,9432
1B
-38,4828
-19,9432
Cos α1Mo = -0,75477
Sin α1Mo = 0,65599
1M
19,5241
22,4641
M1
-19,5241
-22,4641
Cos αMNo = 0,71876
Sin αMNo = 0,69526
MN
16,7273
-17,2928
NM
-16,7273
17,2928
Cos αN2o = 0,82610
Sin αN2o = 0,56352
N2
28,9688
-42,4677
2N
-28,9688
42,4677
Cos α2Co = 0,88951
Sin α2Co = 0,45691
2C
11,2034
-21,8109
C2
-11,2034
21,8109
Cos αMFo = -0,50643
Sin αMFo = - 0,86228
FM
28,4422
-16,7045
MF
-28,4422
16,7045
Cos α3No = -0,54118
Sin α3No = - 0,84090
N3
17,5252
-11,2787
3N
-17,5252
11,2787
Cos αG3o = -0,52505
Sin αG3o = - 0,85107
3G
30,6139
-18,8866
G3
-30,6139
18,8866
Табл. 4.56
Свободные члены уравнений поправок
-
Обозначение поправки
Значение поправки
Обозначение поправки
Значение поправки
Обозначение поправки
Значение поправки
lβ1
+2,3"
lβ8
+0,7"
l s4
-0,019
lβ2
+0,8"
lβ9
+4,4"
l s5
-0,033
lβ3
+0,6"
lβ10
+1,2"
l s6
+0,053
lβ4
+0,5"
lβ11
-0,3"
l s7
-0,044
lβ5
+0,8"
l s1
0,000
l s8
-0,009
lβ6
+0,4"
l s2
+0,010
lβ7
-0,1"
l s3
-0,088
Получим значения свободных членов: для угловых поправок – в секундах; для поправок в расстояния – в дециметрах.
Свободные члены для уравнений поправок в углы найдем как разницу вычисленного с использованием предварительных значений дирекционных углов (табл. 4.54) горизонтального угла в точке и измеренным его значением. Свободные члены в уравнения поправок в расстояния определим как разность предварительного значения расстояния (табл. 4.54) и измеренного его значения. То есть вычисления производятся в соответствии с формулами вычисления поправок для одиночного полигонометрического хода. Значения полученных поправок приведены в табл. 4.56).
C учетом коэффициентов (табл. 4.55) и свободных членов (табл. 4.56) уравнения поправок (4.199) примут вид:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(4.200)
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Таблица 4.57
Значения коэффициентов уравнений поправок, свободные члены и веса
|
1(ξ1) |
2(η1) |
3(ξ2) |
4(η2) |
5(ξ3) |
6(η3) |
7(ξM) |
8(ηM) |
9(ξN) |
10(ηN) |
li |
Pi |
1 |
-38,483 |
-19,943 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+2,3 |
1 |
2 |
58,007 |
42,407 |
|
|
|
|
-19,524 |
-22,464 |
|
|
+0,8 |
1 |
3 |
-19,524 |
-22,464 |
|
|
|
|
36,251 |
5,171 |
-16,727 |
17,293 |
+0,6 |
1 |
4 |
|
|
-28,969 |
42,468 |
|
|
-16,727 |
17,293 |
45,696 |
-59,760 |
+0,5 |
1 |
5 |
|
|
40,172 |
-64,279 |
|
|
|
|
-28,969 |
42,468 |
+0,8 |
1 |
6 |
|
|
-11,203 |
21,811 |
|
|
|
|
|
|
+0,4 |
1 |
7 |
-19,524 |
-22,464 |
|
|
|
|
-8,918 |
39,169 |
|
|
-0,1 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
28,444 |
-16,704 |
|
|
+0,7 |
1 |
9 |
|
|
-28,969 |
42,468 |
17,525 |
-11,279 |
|
|
11,444 |
-31,189 |
+4,4 |
1 |
10 |
|
|
|
|
-48,139 |
30,165 |
|
|
17,525 |
-11,279 |
+1,2 |
1 |
11 |
|
|
|
|
30,614 |
-18,887 |
|
|
|
|
-0,3 |
1 |
12 |
-0,4601 |
0,8879 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,000 |
1,235 |
13 |
0,7548 |
-0,6560 |
|
|
|
|
-0,7548 |
0,6560 |
|
|
+0,010 |
1,235 |
14 |
|
|
|
|
|
|
-0,7188 |
-0,6953 |
0,7188 |
0,6953 |
-0,088 |
1,235 |
15 |
|
|
0,8261 |
0,5635 |
|
|
|
|
-0,8261 |
-0,5635 |
-0,019 |
1,235 |
16 |
|
|
-0,8895 |
-0,4569 |
|
|
|
|
|
|
-0,033 |
1,235 |
17 |
|
|
|
|
|
|
0,5064 |
0,8623 |
|
|
+0,053 |
1,235 |
18 |
|
|
|
|
-0,5250 |
-0,8511 |
|
|
|
|
-0,009 |
1,235 |
19 |
|
|
|
|
0,5412 |
0,8409 |
|
|
-0,5412 |
-0,8409 |
-0,044 |
1,235 |
Составим матрицу коэффициентов, свободных членов и весов для получения коэффициентов уравнений поправок в предварительные значения параметров (табл. 4.57).
Шаг 6. Составление и решение нормальных уравнений параметрических поправок.
В результате обработки табл. 4.57 получим систему нормальных уравнений поправок к выбранным параметрам:
(4.201)
Из решения системы линейных уравнений одним из известных способов получим:
;
(4.202)
Шаг 7. Вычисление поправок, уравненных значений измеренных величин и контроль уравнивания.
Вычислим по формулам (4.200) значения поправок в измеренные величины (табл. 4.58).
Здесь необходимо выполнить предварительный контроль вычисления поправок в углы: сумма поправок по данному полигонометрическому ходу должна быть равна невязке этого хода с обратным знаком. Допустимы расхождения в пределах погрешностей округлений. В примере имеются расхождения до 0,1" (проверьте по суммам соответствующих поправок).
Далее введем поправки в предварительные значения параметров (координат точек), т.е. выполним окончательное уравнивание координат (табл. 4.59). Для этого к значениям координат табл. 4.53 следует прибавить соответствующие поправки (4.202).
Таблица 4.58
-
Обозначение поправки
Значение поправки
Обозначение поправки
Значение поправки
Обозначение поправки
Значение поправки
ν β1
+1,1"
ν β8
+0,8"
ν s4
-4,8 мм
ν β2
+1,1"
ν β9
+1,3"
ν s5
-36,1 мм
ν β3
+0,3"
ν β10
+1,3"
ν s6
+10,0 мм
ν β4
+0,2"
ν β11
+1,3"
ν s7
-19,4 мм
ν β5
+1,4"
ν s1
-2,6 мм
ν s8
-19,9 мм
ν β6
+1,3"
ν s2
+5,2 мм
ν β7
+0,7"
ν s3
+22,5 мм
Таблица 4.59
Значения уравненных координат
Пункты |
1 |
2 |
3 |
M |
N |
X', м |
6964,6911 |
7389,3236 |
7593,4597 |
6441,6144 |
7057,8604 |
Y', м |
4802,6405 |
6079,4427 |
6685,5889 |
5257,2660 |
5853,3433 |
Используя данные табл. 4.58 и таблицы координат исходных точек, вычислить уравненные значения дирекционных углов и расстояний (таблица уравненных значений дирекционных углов и расстояний подобна табл. 4.54).
Далее необходимо проверить качество уравнивания всех горизонтальных углов и расстояний по следующей схеме:
- вычислить разность уравненных дирекционных углов направлений, образующих угол ( αB1 – αBA = 117o23'40,4" – 251o08'14,3" = 226o15'26,1");
- вычислить уравненное значение угла, т.е. к измеренному значению угла прибавить полученную в табл. 4.58 поправку (β1' = 226о15'25,0" + 1,1" = =226о15'26,1"); как видим, разница контрольного угла и уравненного его значения получились одинаковыми в пределах погрешности округлений;
- вычислить уравненное значение расстояния как сумму измеренного расстояния и поправки в него, полученной в табл. 4.58 (s1' = 475,8850 +0,0228 = =475,8824 м); из решения обратной геодезической задачи получено такое же значение (разности могут быть также в пределах округлений).
Указанные вычисления следует выполнить для всех измеренных и уравненных элементов. После контроля необходимо выполнить обработку полигонометрических ходов с использованием значений уравненных элементов. Значения уравненных координат приведены в табл. 4.59.