- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.6.8. Распределение
Данное распределение характеризует распределение суммы квадратов ν независимых случайных величин, причем, каждая из этих величин подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, равной единице.
Протность вероятности -распределения имеет вид
(при х ≥ 0); (1.129)
f(x) = 0 (при х < 0).
где ν – число степеней свободы; Г(х) – гамма-функция Эйлера (1.117).
Числовые характеристики -распределения: математическое ожидание М(Х) = ν; мода МО = ν – 2 ( при ν ≥ 2); дисперсия D = 2 ν; асимметрия ; эксцесс .
Рис. 1.14. График плотности -распределения
График плотности -распределения показан на рис. 1.14, а квантили данного распределения представлены в приложениях 4 и 5.
используется в качестве меры расхождения теоретического и эмпирического рядов частот при оценках распределения показателей вариационных рядов. Этот показатель представляет собой сумму
, (1.130)
где ri – частоты исследуемого вариационного ряда; рi – вероятности теоретического распределения, с которым сравнивается распределение вариационного ряда; n – объем совокупности.
В последующих разделах будут приведены примеры использования параметра .
1.6.9. Показательное распределение
Показательное распределение называют еще экспоненциальным распределением. Оно описывает непрерывные случайные величины, которые имеют функцию плотности распределения вида
при х ≥ 0; при х < 0, (1.131)
где λ – постоянное число.
Интегральная функция распределения имеет вид
при х ≥ 0. (1.132)
При х < 0 интегральная функция равна нулю.
Вероятность попадания случайной величины в интервал легко находится как разность
Р(а < х < b) = . (1.133)
Математическое ожидание , мода МО = 0, медиана Me = , дисперсия D = , асимметрия А = 2, эксцесс Е = 6.
Решим задачу.
Пример 1.24. Случайная величина распределена по закону . Найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (1,93 < х < 2,56).
Решение.
Воспользуемся формулой (1.133).
Р(1,93 < х < 2,56) = 0,4278 – 0,3242 = 0,1036.
1.6.10. γ – распределение
Гамма-распределение (γ-распределение) часто используется при анализе эмпирических распределений показателей редких и цветных металлов и полиметаллов.
Плотность вероятности γ-распределения определяется выражением
при х ≥ 0, (1.134)
где α – параметр распределения, определяющий масштаб; β – параметр распределения, определяющий форму; Г(α+ 1) – гамма-функция Эйлера (1.117).
Интегральная функция определяется выражением
. (1.135)
Рис. 1.15. Вид графиков плотности γ – распределения для различных α и β
Для упрощения вычислений в выражении (1.135) делают следующую замену:
; . (1.136)
Тогда формула (1.135) записывается в виде т.н. неполной гамма-функции:
. (1.137)
Параметры α и β определяются по формулам:
; , (1.138)
где хО – среднее арифметическое (среднее весовое); σ – стандартное отклонение.
Вид γ – распределения для различных значений параметров распределения представлен на рис. 1.15.
В приложении 7 приведены значения неполной гамма-функции.
Пример 1.25. Найти параметры γ – распределения и построить указанное распределение для результатов опробования месторождения, интервальный вариационный ряд которого представлен в табл. 1.4.
Решение.
Для определения параметров распределения воспользуемся результатами обработки данного вариационного ряда: среднее арифметическое (весовое) СО = 361 г/м3 (пример 1.2); стандартное отклонение (стандарт) σ = 198 г/м3 (пример 1.6).
По формулам (1.138) и (1.136) получаем: ; .
Значение гамма-функции, в соответствии с таблицей приложения 7 и на основе свойства гамма-функции
(1.139)
или после n-кратного применения формулы (1.139)
, (1.140)
равно Г(1,82+1) = 1,82Г(1,82) = 1,82 · 0,9368 = 1,705.
В данном случае из (1.134) получим
. (1.141)
По формуле (1.141) вычислим искомые вероятности для построения данного теоретического распределения.
Таблица 1.26
Значения вероятностей γ – распределения содержания полезного ископаемого, представленного вариационным рядом в табл. 1.4
Сi, г/м3 |
122 |
239 |
356 |
473 |
590 |
707 |
824 |
ri |
0,20 |
0,28 |
0,19 |
0,14 |
0,10 |
0,05 |
0,05 |
f(C) |
0,21 |
0,28 |
0,23 |
0,16 |
0,10 |
0,05 |
0,03 |
Как видно из полученных данных, исследуемое распределение весьма близко к γ – распределению. Дальнейшие выводы будут даны ниже, в разделе 1.7.
1.6.11. F – распределение
F-распределение (распределение Фишера-Снедекора) называют еще распределением дисперсионного отношения. В связи с этим указанное распределение используется часто при статистических проверках гипотез, при оценках распределений, в дисперсионном анализе.
Плотность вероятности случайной величины, которая имеет F-распределение выражается довольно громоздким соотношением:
при х ≥ 0, (1.142)
при х < 0.
В формуле (1.142) ν1 и ν2 – параметры распределения (степени свободы); Г(а) – соответствующая гамма-функция Эйлера (1.117).
На рис. 1.16 показан вид функции (1.142). Квантили F-распределения представлены в приложении 8.
Рис. 1.16. График плотности F-распределения
Числовые характеристики F-распределения также определяются по соотношениям, содержащим два параметра распределения:
- математическое ожидание (при ν2 > 2);
- мода (при ν1 > 2);
- дисперсия (при ν2 > 4);
- асимметрия (при ν2 > 6).