- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
3.4.1. Понятие о весе результата измерения
До сих пор мы говорили о результатах измерений, точность которых (степень доверия к ним) была одинаковая, весьма близкая по величине. Строго говоря, в природе измерений не существует равноточных величин. Обеспечить это весьма сложно, да во многих случаях и нет в этом необходимости. К равноточным измерениям можно отнести все результаты, ошибки которых не выходят за пределы допустимой величины, например, двойной средней квадратической ошибки.
Часто приходится иметь дело с разнородными величинами. Например, при выполнении геодезических измерений используют результаты длин линий, которые значительно отличаются по величине, либо измерены разными по точности приборами, либо однородные величины в группе измерены равноточно, но с разным числом измерений в группах и т.п. В этом случае, при оценке точности, говорят о неравноточных измерениях.
Если в качестве веса результата измерения взять число, которое характеризует точность, то по смыслу слова «вес» можно сказать, что, чем больше вес результата, тем выше его точность (тем меньше ошибка, с которой получен данный результат). Т.е. вес находится в обратно пропорциональной зависимости от ошибки результата. Пусть точность измерения какой-либо величины характеризуется средней квадратической ошибкой m, тогда вес Р определяют как отношение
. (3.38)
Значение с может быть любым, кроме нуля, но для анализируемой группы результатов измерений его принимают равным примерно среднему значению m по группе, в связи с чем значения весов результатов измерений не будут слишком большими или маленькими.
Очевидно, что величина средней квадратической ошибки зависит от числа измерений, а значит и от числа измерений зависит и вес: чем с большим числом измерений получен тот или иной результат, тем больше его вес.
Уже при обработке ряда равноточных измерений мы сталкивались с результатами, имеющими разный вес. Если принять за единичный вес результат одного измерения, то среднее арифметическое будет получено с большим весом, причем вес его будет в n раз больше, чем вес результата одного измерения.
Предположим, что при равноточных измерениях одной и той же величины Х (заранее неизвестной) выполнено три серии по ni наблюдений в каждой: n1, n2, n3, причем n1 > n2 > n3. Примем значение с2 в формуле (3.38) равным n1. Поскольку значение средней квадратической ошибки обратно пропорционально корню квадратному из числа измерений, то квадрат средней квадратической ошибки будет обратно пропорционален числу измерений. В связи с этим формулу (68) можно переписать в виде
(3.39)
где no = .
В рассматриваемом случае Р1 = 1, Р2 = n2 /n1 , Р3 = n3 /n1. Это говорит о том, что серии измерений неравноточны между собой.
Обозначим результаты измерений в сериях 1, 2 и 3 как x1i , x2i , x3i и вычислим средние арифметические значения измеренной величины в каждой из серий: x1о , x2о и x3о по формуле (3.6).
Для всей группы измерений значение арифметической середины xо определится с учетом их весов из выражения
. (3.40)
Аналогичная формула получится и для случая n серий измерений.
Из формулы (3.40) следует, что вес арифметической середины равен сумме весов всех измерений, входящих в серии.
Веса всех измерений можно изменить в одинаковое число раз. От этого значение арифметической середины не изменится. То есть в качестве no можно взять и другое число, отличное от n1, n2 и n3. Это число (с, no и др.) называют единицей веса.
При измерениях следует стремиться к тому, чтобы веса результатов измерений были близки друг к другу, т.е. значения pi при соответствующем выборе коэффициента пропорциональности c должны быть близкими к единице (частный случай – равноточные измерения с весами, равными единице).
Далее приведем некоторые рекомендации по установлению веса того или иного результата измерения.
Принято считать, что горизонтальные углы в полигонометрических ходах и в рядах триангуляции при сравнительно больших длинах сторон измеряются равноточно, т.е. для всех углов pβi = 1 и qβi = 1 (где q – обратный вес результата измерения).
Если стороны s1 и s2 , образующие горизонтальный угол, сравнительно короткие, то для оценки веса измеренного угла следует учитывать вероятную ошибку центрирования t теодолита на ошибку направления. Эта ошибка mн может быть оценена по формулам
, (3.41)
где ρ = 206265''
Поскольку угол β определяется как разность двух направлений (β = Н1 – Н2), то его ошибка определяется значением , т.е., с учетом (3.41),
. (3.42)
Примем условно за единичное расстояние среднее значение so = 0,5(s1 + s2), а в качестве коэффициента пропорциональности с , соответственно
. (3.43)
Тогда вес измеренного угла
. (3.44)
Например, стороны измеренного угла β1 равны 200 м и 800 м, а угла β2 – 400 м и 600 м. Среднее значение so в том и другом случаях равно 500 м. По формуле (3.44) получим p1 = 0,301 и p2 = 0,886, т.е. это говорит о большей вероятности того, что второй угол измерен точнее, чем первый.
При уравнивании полигонометрических ходов, в которых измерены горизонтальные углы и расстояния, причем, горизонтальные углы измерены равноточно, вес измеренного расстояния часто определяют по формуле
, (3.45)
где mβ - средняя квадратическая ошибка измерения угла (в секундах); ms - средняя квадратическая ошибка измерения расстояния (обычно в сантиметрах).
Часто значение ошибки измерения расстояния известно в относительной форме, как εs . Тогда для конкретного расстояния s ms = sεs . Если же для сравнительно большого диапазона расстояний известна одинаковая для них величина ms , то результаты измерения расстояний считают равноточными, но с весом, по отношению к весу углов, равным (3.45).
Веса измеренных превышений в секциях нивелирных ходов геометрического нивелирования часто ставят в зависимость от длины хода в секции, либо от числа штативов в секции. Тогда значение веса определяют по одной из формул:
, (3.46)
где Lo и no – соответственно средняя длина секции и среднее число штативов в секции нивелирного хода, либо в системе нивелирных ходов.
При определении весов отдельных измерений можно пользоваться не самой СКО, а величиной, определяющей ее. Например, числом измерений отдельного угла, расстояния, превышения, пролета и т.п., если, конечно, по каким-либо причинам выполнялись неравноточные измерения. В этом случае могут использоваться формулы (3.45).