- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
Показателем возможного отнесения данного эмпирического распределения к нормальному распределению является выполнение следующих условий:
; , (1.152)
где А и Е – соответственно асимметрия и эксцесс исследуемого распределения; ; .
Пример 1.32. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, представленного в табл. 1.4 на соответствие его нормальному распределению, используя показатели асимметрии и эксцесса.
Решение.
Воспользуемся данными примера 1.22: А = 0,67; Е = -0,38; n = 80.
; .
Ответ: поскольку условие (1.152) полностью выполняется, то эмпирическое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением.
1.7.5.2. Критерий Шарлье
В соответствии с критерием Шарлье определяют абсолютную величину погрешности xmax , больше которой в исследуемом ряду, если он подчиняется нормальному закону распределения, может быть только одна.
Значение xmax находят по формуле
, (1.153)
где σ – стандартное отклонение (стандарт); tmax получают из условия
(1.154)
по таблице приложения 2 или вычисляют по формуле
(1.155)
подстановкой в нее значения, вычисленного по формуле (1.154) и решения указанного интергала.
Пример 1.33. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, представленного в табл. 1.4, с нормальным распределением, используя критерий Шарлье.
Решение.
Для указанного распределения: математическое ожидание СО = 361 г/м3, стандарт σ = 198 г/м3 (значения выбраны из примеров 1.2 и 1.6).
Составим таблицу разностей центров интервалов с математическим ожиданием (данные разности называют ошибками).
Таблица 1.33
СОi |
122 |
239 |
356 |
473 |
590 |
707 |
824 |
COi - CO |
-239 |
-122 |
-5 |
+112 |
+229 |
+346 |
+463 |
Вычислим .
По таблице приложения 2 интерполированием находим tmax = 2,511.
Значение хmax = 2,511 · 198 = 497 г/м3.
Сопоставление с данными табл. 1.33 показывает, что в исследуемом ряду нет ошибки, превышающей 497 г/м3.
Вычислим среднюю ошибку данного ряда по формуле
, (1.156)
получим = 217 г/м3.
Для нормального закона распределения
. (1.157)
В примере хСР = 0,798 · 198 = 158 г/м3.
Различие в средних (217 г/м3 и 158 г/м3), вообще говоря, существенное.
Ответ:
- эмпирическое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением по показателю хmax;
- эмпирическое распределение не согласуется с нормальным распределением по несовпадению средних ошибок (фактической и вычисленной по теоретической формуле).
1.7.5.3. Критерий Шовенэ
Данный критерий также предполагает вычисление хmax по формуле (1.153), но при этом значение tmax выбирают из таблицы приложения 2 по значению функции
. (1.158)
Пример 1.34. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, представленного в табл. 1.4, с нормальным распределением, используя критерий Шовенэ.
Решение.
Вычислим и по таблице приложения 2 интерполированием найдем tmax = 2,735 и затем значение хmax = 2,735 · 198 = 542 г/м3.
Сопоставление с данными табл. 1.33 показывает, что в исселуемом ряду нет ошибки, превышающей вычисленную (542 г/м3).
Ответ: эмпирическое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением.