4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом

4.7.1. Уравнивание углов в полигоне

Задача решается с использованием исходных данных раздела 4.6.1. Дополнительно известен дирекционный угол линии АВ (α_АВ = 91° 47' 14,6" ).

Вообще говоря, если дирекционный угол исходной стороны неизвестен либо не может быть в настоящий момент определен, то в качестве исходного можно принять любое условное значение дирекционного угла любой стороны фигуры и выполнить уравнивание.

Шаг 1. Общее число измерений n = 4, число необходимых измерений k = 3, число избыточных измерений r = 1.

Шаг 2. Выбираем параметры t_j (их число должно быть равно числу необходимых измерений, т.е. 3).

В качестве параметров выбираем дирекционные углы сторон фигуры:

t₁ = α_BC ; t₂ = α_СD; t₃ = α_DA .

Шаг 3. Составляем параметрические уравнения, т.е. выражаем все измеренные величины через выбранные параметры t_j:

(4.184)

Шаг 4. Находим приближенные значения t_j⁰ параметров t_j:

(4.185)

Шаг 5. В соответствии с функциями (4.184) находим коэффициенты a_ij и свободные члены l_i параметрических уравнений поправок ν_i :

(4.186)

Как видно, значение W_β представляет собой угловую невязку в полигоне, т.е. в данном случае свободный член равен угловой невязке с обратным знаком. Поскольку W_β = + 7", то l₄ = - 7".

Таблица 4.47

Таблица коэффициентов a_ij, весов и свободных членов уравнений поправок

j→ i↓	1	2	3	li	pi
1	0	0	+1	0	0,221
2	-1	0	0	0	0,459
3	+1	-1	0	0	0,473
4	0	+1	-1	-7	0,225

Составим таблицу (4.47) коэффициентов a_ij , свободных членов l_i и весов p_i измеренных величин.

Шаг 6. Составим и решим систему нормальных уравнений поправок τ_j.

Запишем уравнения поправок τ_j в развернутом виде в соответствии с параметрами, указанными в табл. 4.47:

(4.187)

После подстановки значений, приведенных в табл. 4.47, получим окончательный вид уравнений поправок τ_j:

(4.188)

Из решения системы уравнений (4.188) получим:

τ ₁ = +1,15"; τ₂ = +2,27"; τ₃ = -2,39"

Шаг 7. Вычисляем значения поправок τ _j с округлением до 0,1":

(4.189)

Контроль: сумма поправок равна невязке с обратным знаком.

Сравните полученные значения поправок с поправками, полученными в коррелатном способе уравнивания (п. 4.6.1).

Дальнейшие вычисления сводятся к определению уравненных значений параметров t_j по формуле, а также к вычислению уравненных значений измеренных углов по формуле.

4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками

При объяснении решения задачи уравнивания системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками параметрическим способом используем исходные данные примера 4.6.3.

Далее не будем обозначать пошаговым способом алгоритм решения задачи, но сохраним строгую последовательность действий, как это приводится в разделе 4.3, а также в рассмотренных выше примерах.

В качестве параметров t_j выбираем высоты точек 1, 2, 3 и 4 (число параметров должно быть равно числу необходимых измерений: 4 параметра):

t ₁ = Н₁ ; t₂ = Н₂ ; t₃ = Н₃; t ₄ = Н₄.

Составим параметрические уравнения связи, т.е. выразим измеренные величины через функции выбранных параметров:

(4.189)

Найдем приближенные значения выбранных параметров (задачу решим без предварительного уравнивания системы нивелирных ходов):

В соответствии с функциями (4.189) находим коэффициенты a_ij и свободные члены уравнений поправок.

Свободные члены находим как невязки в уравнениях (4.189):

Составим матрицу коэффициентов, свободных членов и весов (табл. 4.48).

Таблица 4.48

Матрица коэффициентов a_ij, свободных членов и весов превышений

j→ i↓	1	2	3	4	li
1	+1	0	0	0	0	2,38
2	0	+1	0	0	0	1,47
3	-1	+1	0	0	+7	0,93
4	-1	0	0	+1	-17	2,56
5	0	+1	0	-1	+6	0,76
6	0	-1	+1	0	+16	0,98
7	0	0	-1	+1	-6	0,66
8	0	0	0	-1	0	0,58
9	0	0	-1	0	0	0,84

По установленным правилам, изложенным в разделе 4.3, составим нормальные уравнения поправок с учетом данных, приведенных в табл. 4.48:

(4.190)

Из решения системы линейных уравнений (4.190) находим:

τ ₁ = - 1,700; τ₂ = + 1,466; τ₃ = - 4,672; τ ₄ = +10,026.

Вычисляем значения поправок в превышения, предварительно составив уравнения поправок, исходя из табл. 4.48:

(4.191)

Не будем проводить дальнейшие вычисления, поскольку их результаты будут такими же, как и в примере уравнивания данной системы нивелирных ходов коррелатным способом (сравните поправки в превышения в том и другом способах). Но это делается только с целью сокращения объема пособия. Вам же во всех задачах необходимо выполнять полный контроль результатов уравнивания, т. е. необходимо полностью убедиться в правильности решения задачи. Вы можете самостоятельно проверить уравненные значения выбранных в этом примере параметров (высот точек 1, 2, 3 и 4) суммированием их приближенных значений с соответствующими поправками τ_j. Например, Н₁ =

= 81922 – 1,700 = 81920 мм = 81,920 м.