- •Халықаралық бизнес университеті
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Оқытушыға арналған пәннің оқу жұмыс бағдарламасы
- •Алматы, 2013
- •Күнтізбелік-тақырыптық жоспар
- •Пәннің мазмұны
- •Негізгі оқыту әдебиеттері
- •Қосымша оқыту әдебиеттері
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Алматы, 2013
- •Силлабус (үлгі)
- •5B090800-«Бағалау мамандығына арналған «Математика» пәнін оқу – әдістемелерімен қамтамасыз ету картасы
- •1. Сызықтық алгебра
- •§1.1. Матрицалар (тікшемдер). 2 - шi, 3 - шi peттi анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері.
- •§1.2. Минорлар мен алгебралық, толықтауыштар
- •§1.3. Матрицаларға амалдар қолдану
- •§1.4. Матрица рангі
- •§1.5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (сатж). Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
- •§1.6. Сатж зерттеудің және оның шешімін табудың Гаусс әдісі
- •§1.7. Біртекті және біртекті емес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
- •1. Векторлар және оларға қолданылатын амалдар.
- •§2.2 Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары.
- •§2.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу
- •§2.4 Векторлардың түзуіге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері.
- •§2.5 Векторлық көбейтінді және оның қасиеттері.
- •§2.6 Векторлардың аралас көбейтіндісі.
- •Аналитикалық геометрия негіздері.
- •§ 1.1. Жазықтықтағы түзу
- •§1.2. Жазықтық теңдеуі.
- •§ 2.3. Кеңістіктегі түзу.
- •§2.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
- •§ 2.5. Екінші ретті беттер
- •1. Эллипсоид
- •4. Екінші peттi конус
- •5.Екінші ретті цилиндрлер
- •Математикалық талдауға к1р1спе. Б1р айнымалы функцияның дифференциалдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалық логика элементтері Аралықтар
- •1. Математика пәні. Тұрақты және айнымалы шамалар
- •2. Жиындар
- •§ 3.2. Функциялар
- •1. Функция. Оның бepілyi.
- •2. Элементар функциялар
- •§3.3. Шектер
- •1. Нақты сандар тізбегі және оның шегі
- •2. Шексіз азаятын және шексіз үлкейетін шамалар
- •4. Монотонды тізбектер. Е — саны
- •5. Тізбектің жинақталуының Коши шарты
- •6. Функцияның шегі.
- •7. Шегі бар функциялардың қасиетгері.
- •8. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар.
- •9. Функциялардың үзіліссіздігі.
- •10. Екі тамаша шек
- •11. Шексіз аз және шексіз үлкен шамаларды салыстыру
- •13. Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиетттері
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •1. Туынды
- •2. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы
- •3. Дифференциалдау ережелері
- •4.Kepi функция туындысы
- •5. Параметрмен берілген функция және оның туындысы
- •6. Функция дифференциалы
- •7. Жоғарғы peттi туындылар мен дифференциалдар
- •8. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар
- •9. Лопиталь ережесі
- •10. Тейлор формуласы
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •3. Функция графигігінің асимптоталары
- •4. Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу
- •Көп айнымалыЛы функциялар
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •3. Бетке жанама жазықтық. Толық дифференциалдың геометриялық көpiнici.
- •4. Толық дифферендиалдың жуықтап есептеулерге қолданылуы
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •5 Тарау интегралдар
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •1. Ауыстыру (айнымалыны алмастыру) әдісі.
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •1. Геометриялық және физикалық есептер. Анықталған
- •2. Анықталған интегралдардың касиеттері
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Тақырыптарды меңгеру дәрежесін анықтауға арналған сұрақтар 1. Сызықтық және векторлық алгебра
- •2. Аналитикалық геометрия
- •3 . Математикалық талдауға кipicne. Бip айнымалы функцияның дифференциалы есептеуі.
- •4. Көп айнымалылы функция
- •5. Интегралдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалықлогика элементтері Аралықтар
- •§ 3.2. Функциялар
- •§3.3. Шектер
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Глоссарий:
- •Студенттерге таратылатын материалдар
§2.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу
Rn кеңістігнің (n = 1- түзу, n = 2 - жазықтық n = 3 - кеңістік, n>3 - n - өлшемді абстракты (дерексіз) кеңістік кез келген х,у- нүктелері (радиус—векторлары) берілсін. Онда [х,у] кесіндісін келесі түрде анықтауға болады (6 - суретті кдраңыз) z =λx + μy, λ, μ>0, λ + μ = 1. (2.2)
Мұнда = 0 болса, онда z=x, ал = 0 болса, онда z=y, ал кез-келген λ>0, μ>0 үшін z нүктесі [x,y] кесіндінің ішкі нүктесі
(2.2) - тендікті келесі түрде жазуға болады:
z=(l-)x + μy = x + μ(y-x), 0≤μ≤1
немесе
z= λx + (1-λ)у = y+ λ(x-y) 0<λ<1.
Теорема. z= λx + μy, λ, μ ≥0, λ + μ= 1 нүктесі [х,у] кесіндісін ұзындыктары қатынасындай болатын кесінділерге бөледі.
№ 11-12 лекциялар. Векторлардың скаляр көбейтінділері анықталып оның көмегімен шығарылатын практикалық есептер қарастырылады.
§2.4 Векторлардың түзуіге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері.
Кейде (i,j.k) базисіндегі вектор координаталарын проекция ретінде жазу ыңғайлы.
a=AB векторының бағытталған L түзуше проекциясы (ПpLа) деп векторын айтады, мұндағы нүктелері А мен В нуктелерінің L түзуіне проекциялары (7-сурет).
'= ПpL.
А'В' - векторының екі түрлі ғана бағыты бар: егер а мен L-дың арасындағы бұрыш сүйір, яғаи 0<ω = (,L)<90° болса, онда оның бағыты L түзуінің бағытымен беттеседі де, ал доғал,
900<ω = (,L)<180° болса,
онда А'В' –векторы L түзуінің бағытына қарама-қарсы болады. Сондықтан, а векторының бағытталған L- түзуше проекциясын келесі түрде аныктайды.
Анықтама. = АВ векторыныц L — бағытталған түзуге проекциясы деп вектор а –ның ұзындызы мен а векторы мен L түзунің бағыты арасындағы бұрышының косинусының көбейттдісін айтады: Пр La = cos (2.3)
,векторларының берілген бағатқа проекциялары келесі қасиеттерге ие:
l°.ПpL( + ) = npL + npL;
2°. ПpL() = ПpL
Осыдан ПpL(-) = ПрL-ПpL болатындығын аламыз.
Аныктама. а мен b векторларының скаляр квбейтіндісі деп осывекторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрышының косинусының көбейтіндісінее тең санды айтамыз және оны ab, (a,b), (, ) таңбаларының біреуімен белгілейміз: ab=(a,b)=(,)=\ \ • cos<y = \\ • \\ cos,A (2.4)
(2.3) - теңдігін ескеріп (2.4) теңдігін келесі түрде де жаза аламыз:
= \Пps = Пp. Скаляр кебейтіндінің келесі қасиетгері бар: (,) = (,), (,+) = (,) + (,),
(,α) = α(,) Нөл емсс ,векторлары үшін:
1) (,) = 0(,) = (, векторлары ортогональ);
2) (,) > 0 0 <( ,) < (,) - сүйір бұрыш;
3) (,)<0 <(,)<π; (,) -доғал бұрыш.
Кез келген а векторы үшін
(a,b)=(,) =
Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінің координаттық орттары ,, үшін
(,) = (,) = (,) = 1,
(,) = (,) = (,) = 0.
Егер {,,} базисінде = (x1,y1,z1)=(x2,y2,z2) векторлары берілсе, онда
(,) = x]x2+yly2+zlz2.
Дербес жағдайда = болса, онда
= \\ 2 =
бұдан = (х, у, z) = х + у+ z векторының ұзындығын аламыз:
\\= . (2.5)
Erep = (x,y,z), =(x',y',z') берілсе, онда (2.5) -теңдіктен мен нүктелерінің ара қашықтығының формуласы шығады
\АВ\ = \-\=
= және = векторларының арасындағы бұрышы
(2.6) тең.
(2.6) - теңдіктен = (x1,y1,z1) және =(x2,y2,z2) векторларының ортогональдық () белгісін алуға болады:
Анықтама. Нөл емес а векторының бағыттаушы косинустары деп осы вектор мен ox,oy,oz өстерінің арасындағы бұрыштарының ,, косинустарын айтады.
= (х, у, z) векторының бағыттаушы косинустары
, , .
Бағыттаушы косинустар cos2 + cos2 + cos2 = 1 тендігінің орындалатынын тексеру қиын емес.
Кез келген нөл емес а = (х, у, z) = xi + yj + zk векторының орты
= (cos , cos, cos ) .
№ 13-14 лекциялар. Векторлардың векторлық және аралас көбейтінділері анықталып оның көмегімен шығарылатын практикалық есептер қарастырылады.