2. Шексіз азаятын және шексіз үлкейетін шамалар

Шегі нөлге тең а_n айнымалы шексіз азаятын шама немесе, қысқаша, шексіз аз деп аталады.

Сонымен, егер _ > 0 саны арқылы _n <, n > n_ теңсіздігі орындалатындай n_ саны табылса, онда х_n - шексіз аз шама.

х_n айнымалысының шегі "а" болуы үшін

х_n = а + а_n (а_n - шексіз аз) ,теңдігінің орындалуы кажетті және жеткілікті

Егер кез келген Е>0 саны арқылы \\>Е (п>п_) теңсіздігі

орындалатындай п_ саны табылса, онда _n - айнымалысы шеказ _ _¥лкейетін шама немесе жайғана шексіз улкен деп аталады да

lim_n= немесе _nm (1) деп жазылады және _n, шеказдікке ұмтылады дейді. Егер ақырсыз үлкен _n, қандайда 6ip n₀

- санынан бастап тек оң мәндер немесе тек теріс мәндер қабылдаса, онда сәйкес

lim_n=+, немесе _n+, (2) .

lim_n=-, немесе _n - (3) деп жазылады.

3. Анықталмаған өрнектер

1. limx_n limx_n =0 (у о) болса, тізбегінің шегі туралы алдын ала анық ешнәрсе айта алмаймыз. Мысалы,

егер

егер

егер

егер шегі шоқ

Сонымен, шегін табу үшін х_n  0, у_n 0 болатынын

білту жеткіліксіз. Бұл жағдайда х_n мен y_n айнымалыларының

езгерістерін сипаттайтын қосымша мәліметтер, шегін табуға

х_п арнайы тәсілдер колдану қажет. x_n0, y_n 0 боллс онда өрнегі - түріндегі анықталмаған өрнек деп атайды.

Осы сияқты, егер:

1. x_n, y_n болсаб, онда -түріндегі

2. x_n0, y_n болсаб, онда У_n * y_n - (0 *) түріндегі;

3 x_n+, y_n болсаб, онда x_n +y_n - ( -) түріндегі анықталмаған өрнек деп аталады.

Анықталмағандыкты ашу сәйкес ернектің шегш (егер ол бар болса) табу деген сез, алайда бұл әрдайым оңай бола бермейді.

4. Монотонды тізбектер. Е — саны

Анықтама. Егер

nN, x_n<x_n+1 (x_nx_n+1 ) (4)

теңсіздігі орындалса, онда {x_n } кемтейтін (өспейтін) тгзбек деп аталады.

Егер (4) қатыс катаң теңсіздіктер арқылы: x_n<x_n+l, (х_n>х_п+1) орындалса, онда \х_п } - өспелі (кемшелі) тізбек деп аталады.

Кемімейтін (өсетің) тізбектер әрдайым төменнен x_l - санымен,

өспейтін (кемитін) тізбектер әрдайым жоғарыдан х_{ - санымен шенелген.

Теорема. Егер {a_n } кемімейтін (өспейтің) тізбек және жоғарыдан М санымен (төменнен m - санымен) шенелсе, онда

(15)

орындалатындай "а" саны табылады.

шеггі алғашқы рет Л. Эйлер үсынғандай "е"

арқылы белгілейміз,

(6)

е - саныньщ дәлірек мәні е = 2,7128....

5. Тізбектің жинақталуының Коши шарты

"а" - нақты санға жинақталатын тізбек болсын: x_n =a.

Бұл дегеніміз, "  > 0 берілсе n > п_ нөмірлері үшін

x_n-a\<

тенсіздігі орыналатындай п_ε > О саны бар" деген сөз.

Онда n >n_, m>n_ натурал сандары үшін теңсіздігі орындалады. Сонымен, егер х_п айнымалының ақырлы шегі бар болса, онда ол үшін келесі Коши шарты орындалады: Егер кез келген  > О саны берілсе n,m> п_ нөмірлері үшін

теңсіздік дұрыс болатындай п_ саны табылады.

Коши шартын қанағаттандыратын сандар тізбегі фундаменталды (іргелі) тізбек деп атайды.

Коши шартына кері тұжырым да орындалады екен: егер нақты сандар тізбегі Коши шартын қанағаттандырса, яғни іргелі тізбек болса, онда х_nа, п   болатындай "а" – ақырғы саны табылады.

Сонымен келсі теорема орындалады:

Теорема (шектің бар болуының Коши белпсі). нақы сандар тізбегінің ақырлы шегі бар болуы үшін, оның іргелі тізбек болуы қажеті және жетклікті.

№ 29-30 лекциялар. Функцияның шегі оны анықтау. Шексіз аз, шексіз үлкен функциялар және функция үзіліссіздігі.