2. Элементар функциялар

у = С (С - тұрақты), у = х^а (О)- дәрежелік, у = а^x, (а>0, а 1) - керсетйштік, y = log_ax (а>0, а1) - логарифмдік, y= sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx – тригонометриялық функциялары негізін элементар функциялар деп аталады.

Бұл функцияларға ақырлы санды арифметикалық амалдар мен функциядан функция алу (суперпозиция) амалдарын қолдана отырып • элементар функцияларды аламыз.

Анықтама. y = f(x) элементар функциясының анықталу аймағыдеп х аргументтің f(x) өрнегінің мағнасы болатындай мәндер жйының айтады.

Қорытынды. № 25-26 лекциялардан кейін студенттер шама, жиын, нақты сан, функциятүсінігін меңгеретін болады. Функциядан күрделі функция құрастырып қасиеттерін зерттей алатын болады.

№ 27-28 лекциялар. Шек, аймақ, шексіз аз, шексіз үлкен шама ұғымдары. Сандық тізбек және оның шегін табу тәсілдері.

§3.3. Шектер

1. Нақты сандар тізбегі және оның шегі

Аныктама. Нақты сандар тізбегі деп натурал сандар жиынында анықталған f:NR функциясын айтады. Мұндай функцияның мәндері x_n=f(n),nN (немесе а_П,Ь_П т.с.с.) арқылы белгілейді де оларды тізбек мүшелері немесе элементтері, п - санын х„ – мүшесінің нөмірі деп атайды.

Тізбекті

{x_n}; x₁ х₂,...,x_n; х_1;х₂,...,{x_n j^_n=1; x_n, nN; х_n, n = 1,2,... символдарының бірімен белгілейтін

боламыз.

Анықтама. Егер әрбір (кез келген) >0 саны арқылы, барлық п>n_нөмірлері үшін

x_n-a< (1)

теңцсіздіг1 орындалатындай п_е оң саны ( - санына теуелді) табылса, онда "а" саны {х_n} тізбегенің шег1 деп аталады да

limx_n=a немесе \irnx_п= а немесе х_па (и)

арқылы белгіленеді, және "{x_n} тізбегінің (айнымалысының) "а"-санына тең шегі бар" немесе "{х_n} тізбегі "а" - ға ұмтылады" немесе "{ x_n } тізбегі (айнымалысы) "а" - санына жинақталады" дейді.

Егер nN, х_п =а болса, онда \1тх_п =limа = а екені анық.

Ескерту. Егер limx_n=а болса, онда kN үшін limx_n+k =lima = a.

Кез келген оң  > 0 саны арқылы п > п_ нөмірі бар барлық х_а нүктелері O_(a) = (a-,a + ) маңайында жататындай п_ саны табылса, онда "а" саны х_n төбегінің шегі болады.

Ал п≤п_£ нөмірі бар х„ нүктелері O_(a) маңайында жатуы да, жатпауы да мүмкін, яғни О_(а) маңайының сыртында х_n нүктелері бар болса, онда олардың саны ақырлы. Сондықтан шек түсінігін балайда анықтауға да болады: егер "а" нүктесінің кез келген маңайының сыртында жатқан х_т нүктелері ақылылы немесе бос жиын болса, онда "а" нүктесі х_n тізбегінің шегі болады.

Шегі бар тізбектердің қасиеттері.

1 - теорема. Егер х_n тізбегінің шегі бар болса, онда ол шек жалғыз.

2 - теорема. Егер Х_п тізбегі жинақты болса, онда ол тізбек шенелген. ~ •—— ——————

3 - теорема. Егер х_nе(а,b), онда _n=c[a,b]. Мысалы,

4 - теорема. Егер lim x_n = lim y_n = а және х_n ≤z_n ≤у_п, n = 1,2,... болса, онда limz_n = a.

5 - теорема. Егер х_n а, онда х_n  а .

Шегі бар тізбектерге арифметикалық амалдар.

Теорема. Егер lmх_n және limy_n шекгері бар болса, онда

Нт(х_n у_п), lim(x_n*y_n), lim- (limy_n0) шектері де бар, сонымен

6ipre келесі тендіктер орындалады:

lmc-x_n =c-limx_n, с-const;

lim(x_ny_H) = limx_nlimy_n;

lim(x_n*y_H) = limx_n*limy_n;

lim,limy_n0;