3. Бетке жанама жазықтық. Толық дифференциалдың геометриялық көpiнici.

S бет S: z = f(x,y) функциясымен сипатталсын және бұл функцияның х, у жазықтығындағы қандай да бip аймақта үзіліссіз дербес туындылары болсын.

S бетінің M₀(x₀,y₀,z₀), z₀=f(x₀,y₀) нуктесіндегі жанама жазықтығы деп

(8)

теңдеуімен берілген жазықтықты айтады. Мұндағы, X,Y,Z - айнымалы (ағымдық) координаталар, ал -тің дербес туындыларының Р₀(х₀,у₀)- нүктедегі мәндері.

24-сурет

(8) жазыктықты П деп белгілеп, оньң қасиетін қарастырайық. х,у жазықтығында Р₀(х₀,у₀) нүктесіне жақын етіп Р(х,у) нүктесін алайык, (24-сурет). Р нүктесі арқылы өтетін z өсіне параллель түзу П жазықтығының Т нүктесіне, ал S бетінің М нүктесінде өтеді.

М - нүктесінің аппликатасы z = f(x,y), ал Т – нуктесінің аппликатасы

болғандықтан М мен Т нүктелерінің ара қашықтығы

(9)

тең. Р мен Р₀ нүктелерінің ара қашықтығы

Шарт бойынша f функциясының (х₀,у₀) нүктесінде үзіліссіз туындылары бар болғандықтын, f функциясы осы нүктеде дифференциалданады. Сондықтан, (9)-ің оң жағындағы өрнек (функция өciмшесі мен дифференциалының айырымы ретінде) ρ-ға салыстырғанда нөлге жылдамырақ ұмтылады:

|МТ| = о(ρ), ρ→0.

Сонымен, S бетінің M₀(x₀,y₀,z₀) нүктесіндегі жанама жазықтық келесі қасиетке ие болады екен: S бетінің кез келген (x,y, f(x,y)) нүктесінен z - өсінің бағыты бойынша П жазықтыққа дейінгі қашықтық Р(х,у); Р₀(х₀,у₀) нүктелерінің ара қашықтығына салыстырғанда ақырсыз аз шама.

(8) теңдіктің оң жағы f функциясының (х₀,у₀) нүктедегі (х – х₀, у – у₀) өсімшеге сәйкес дифференциалы

ал сол жағы - жанама П жазықтығының аппликатасының сәйкес өciмшесі.

Олай болса, f функциясының (х₀,у₀) нүктесіндегі (х-х₀,у-у₀)-ге сәйкес дифференциалының геометриялық мағынасы - z=f(x,y) бетіне (х₀,у₀) нүктеде жүргізілген жанама жазықтық нүктесінің аппликатасының осы (х– х₀, у - у₀) -ге сәйкес өciмшесі.

Беттің нормалі (тіктемі) деп жанама жазықтықтың бетке жанау нүктесінен өтетін осы жанама жазықтыққа перпендикуляр түзуді айтады.

Егер S беті z=f(x,y) функциясы арқылы берілсе, онда оның Р₀(х₀,у₀) нүктесіндегі тіктемінің, теңдеуі

арқылы жазылады.

Егер S беті F(x,y,z) = 0 теңдеуімен берілсе, онда оның M₀(x₀,y₀,z₀) нүктесіндегі жанама жазықтығының тендеуі

ал нормаль тендеуі

түрлерінде жазылады.

4. Толық дифферендиалдың жуықтап есептеулерге қолданылуы

Егер ∆x пен ∆y жеткілікті аз шама болса, онда функцияның толық өсімшесі мен толық дифференциалы арасында жуық теңдік жaзуға болады:

немесе

Бұдан х₀ + ∆x = х, у₀ + ∆у = у деп алып келесі жуық теңдікті жаза аламыз:

(10)

Біз (10) формуладан f(x, у) функциясын (х₀,у₀) нүктесінің маңайында сызықтық функциямен алмастыруға болатынын көреміз.

Геометриялык, тұрғыдан ол z=f(x,y) бетінің шағын бөлігі осы бөліктің M₀(x₀,y₀,z₀) нүктесінде жүргізілген жанама жазықтықтың сәйкес бөлігімен ауысқанын көрсетеді.

(10) формула f(x,y) функциясының мәндерін (егер х х₀-ге, ал у у₀-ге жақын алынса) белгілі f(x₀,y₀), f ′_x(x₀,y₀), f ′_y(x₀,y₀) мәндері бойынша жуықтап есептеуге мүмкіндік береді