- •Халықаралық бизнес университеті
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Оқытушыға арналған пәннің оқу жұмыс бағдарламасы
- •Алматы, 2013
- •Күнтізбелік-тақырыптық жоспар
- •Пәннің мазмұны
- •Негізгі оқыту әдебиеттері
- •Қосымша оқыту әдебиеттері
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Алматы, 2013
- •Силлабус (үлгі)
- •5B090800-«Бағалау мамандығына арналған «Математика» пәнін оқу – әдістемелерімен қамтамасыз ету картасы
- •1. Сызықтық алгебра
- •§1.1. Матрицалар (тікшемдер). 2 - шi, 3 - шi peттi анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері.
- •§1.2. Минорлар мен алгебралық, толықтауыштар
- •§1.3. Матрицаларға амалдар қолдану
- •§1.4. Матрица рангі
- •§1.5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (сатж). Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
- •§1.6. Сатж зерттеудің және оның шешімін табудың Гаусс әдісі
- •§1.7. Біртекті және біртекті емес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
- •1. Векторлар және оларға қолданылатын амалдар.
- •§2.2 Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары.
- •§2.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу
- •§2.4 Векторлардың түзуіге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері.
- •§2.5 Векторлық көбейтінді және оның қасиеттері.
- •§2.6 Векторлардың аралас көбейтіндісі.
- •Аналитикалық геометрия негіздері.
- •§ 1.1. Жазықтықтағы түзу
- •§1.2. Жазықтық теңдеуі.
- •§ 2.3. Кеңістіктегі түзу.
- •§2.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
- •§ 2.5. Екінші ретті беттер
- •1. Эллипсоид
- •4. Екінші peттi конус
- •5.Екінші ретті цилиндрлер
- •Математикалық талдауға к1р1спе. Б1р айнымалы функцияның дифференциалдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалық логика элементтері Аралықтар
- •1. Математика пәні. Тұрақты және айнымалы шамалар
- •2. Жиындар
- •§ 3.2. Функциялар
- •1. Функция. Оның бepілyi.
- •2. Элементар функциялар
- •§3.3. Шектер
- •1. Нақты сандар тізбегі және оның шегі
- •2. Шексіз азаятын және шексіз үлкейетін шамалар
- •4. Монотонды тізбектер. Е — саны
- •5. Тізбектің жинақталуының Коши шарты
- •6. Функцияның шегі.
- •7. Шегі бар функциялардың қасиетгері.
- •8. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар.
- •9. Функциялардың үзіліссіздігі.
- •10. Екі тамаша шек
- •11. Шексіз аз және шексіз үлкен шамаларды салыстыру
- •13. Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиетттері
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •1. Туынды
- •2. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы
- •3. Дифференциалдау ережелері
- •4.Kepi функция туындысы
- •5. Параметрмен берілген функция және оның туындысы
- •6. Функция дифференциалы
- •7. Жоғарғы peттi туындылар мен дифференциалдар
- •8. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар
- •9. Лопиталь ережесі
- •10. Тейлор формуласы
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •3. Функция графигігінің асимптоталары
- •4. Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу
- •Көп айнымалыЛы функциялар
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •3. Бетке жанама жазықтық. Толық дифференциалдың геометриялық көpiнici.
- •4. Толық дифферендиалдың жуықтап есептеулерге қолданылуы
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •5 Тарау интегралдар
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •1. Ауыстыру (айнымалыны алмастыру) әдісі.
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •1. Геометриялық және физикалық есептер. Анықталған
- •2. Анықталған интегралдардың касиеттері
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Тақырыптарды меңгеру дәрежесін анықтауға арналған сұрақтар 1. Сызықтық және векторлық алгебра
- •2. Аналитикалық геометрия
- •3 . Математикалық талдауға кipicne. Бip айнымалы функцияның дифференциалы есептеуі.
- •4. Көп айнымалылы функция
- •5. Интегралдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалықлогика элементтері Аралықтар
- •§ 3.2. Функциялар
- •§3.3. Шектер
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Глоссарий:
- •Студенттерге таратылатын материалдар
§1.2. Жазықтық теңдеуі.
Тік бұрышты (х1, х2, х3) координаталар жүйесі енгізілген R3 кеңістікде 0 - бас нүктеден шыққан а векторы берілсін. а векторының ұшы арқылы өтетін, оған перпендикуляр жазықтық жалғыз ғана болады. Міне осы жазықтықтың тендеуін жазу керек. Сонымен,
\\ =р, v = (cos α1,cos α2,cos α3) векторының орты, α1,α2,α3 – v векторының сәйкес х1,х2,х3 өстерінің арасындағы бұрыштар белгігі бол сын.
= (х1,х2,х3) - жазықтықтың кез келген нүктесінің (радиус-вектордың) v - векторына проекциясы р санына тең:
П=p.(12 - суретті қараңыз).
Олай болса,
(,) = П=p, p≥0
немесе
(,) = p, p ≥0
Бұл теңдеу жазықтықтың векторлық теңдеуі деп аталады.
Егер оны векторлардың координаталары арқылы жазсақ, онда ол
х1 • cos α1 + х2 • cos α2 + х1 • cos α3 = р, р≥0 (1.22)
түріне ие болады да, оны жазықтықтың қалыпты теңеуі деп атайды.
(1.22) - ні кез келген k санына (нөлге тең емес) көбейтіп, оған эквивалент теңдеу аламыз:
Alxl+A2x2+A3x3+B = 0 (1.23)
(А=kcosα1,i = 1,2,3; B=-k*p). Мұнда A12 + А22 + А33 ≠0, яғни А1,А2,А3 - 6ip мезгілде нөл бола алмайды. (1.23) - ті жазықтықтың жалпы тендеуі деп атайды. Жазықтықтың жалпы тендеуінен қалыпты тендеуге ету үшін (1.23) - да қалыптаушы көбейткіш
санына кебейтсе болғаны (таңба В — таңбасына қарама-қарсы етіп алынады). Онда (1.23) - ке эквивалентті
М *А1 • х1 + М *А2 *х2 + М * А3 *х3 = р (1.24)
тендеуін аламыз. Мұндағы
(М А1)2+(М*А2)2 + (М*А3)2=1 болатындықтан, = (M*A1, М*А2, М*А3)
векторы бірлік вектор болады, ал оның координаталар өстеріндегі проекциялары:
М*A1 =соsα1 M*A2=cosα2, M*A3=cosα3.
αi - v векторымен хi, i= 1,2,3 өсініің оң бағытымен арасындағы бұрыш. Сондықтан (1.24) - тендеу
X1 –cosα1 +x2 -cosα2 +x3 -cosα3 -р, р≠0
түрінне, яғни қалыпты тендеуге келеді. (1.23) - тендеуден:
1) B= 0 болса, онда жазықтың координата бас нүктесі арқылы өтетінін, ал В≠0 болса, онда ол координата бас нүктесі арқылы өтпейтінін айта аламыз;
2) А = (А1,А2,А3) векторы жазықтыққа перпендикуляр болатыны белгігі. Өйткені ол жазықтықа перпендикуляр
= (M*A1, M*A2, М*А3) = М(А1, А2, А3) = М*A векторына коллинеар.
(1.23) – тендеуді р - жазықтығының жалпы тендеуі
р: Ax + By + Cz + D = 0
түрінде жазып, жоғарыдағы екі мәлімет арқылы жазықтыктың координаталық остер мен координаталық жазықтықтарға қарағандағы орналасу жағдайларын талдайық. Атап керсетілмесе A,B,C,D - нелге тең емес сандар деп есептейміз.
а) Егер С = 0 болса, онда р: Ах + By + D = 0 түріне келеді де p\\0z, өйткені, оның нормалі =(А,В,О)oz.
Сонғы тұжырым = (А,В,О) мен = (0,0,1) векторларының
скаляр кебейттдіснің нөлге теңдігіен:
nk =-А*0+B*0+0*1=0 шығады.
Осы сиякты,
B= 0 болса, р: Ах + Cz + D = 0
онда р\\0у,
А = 0 болса, p:By + Cz + D = 0 онда р\\ОХ болады. Бұл үш жағдайда да D = 0 болса, онда р жазықтығы сәйкес z, у, х өстері арқылы өтеді.
б) Егер С = В = 0 болса, онда
P:AX + D = Q немесе р: х = а а =
тендеуі oyz жазықтығына параллель (немесе х - өсін перпендикуляр) жазықтықты анықтайды, өйткені = (А,О,О) және ī = (1,0,0) коллинеар векторлар.
Сол сияқты, с = А = 0 болса, онда p:By + D = 0 немесе р: у = b
А = В = 0 болса, р: Cz + D = 0 немесе z = с
жазыктыктары сәйкес oxz жене OXY координаталык жазықтықтарына параллель болады.
Жазықтықтың кесіндідгі теңдеуі.
Егер a1x1 + А2х2 + А3х3 +B = 0
тендеуінде Аi≠О, i = 1,2,3; B≠0 болса, онда оны – В шамасына бөліп
(1.25)
түріне келтіруге болады. (1.25) – ті жазықтықтың кесіндегі теңдеуі деп атайды. Бұл жазықтыктың х1 өсін (а1,0,0) нүктесінде, х2 өсін (0,а2,0) нүктесінде, х3 өсін (0,0, a3) нүктесінде қиып өтеді.
Анықтама. р жазықтығындағы кез келген коллинеар емес a, және b векторларын осы жазықтықтың бағыттаушы векторлары деп атайды.
1-Есеп. Бағыттаушы векторлары = (a1,a2,a3), =(b],b2,b3) болатын ° = (xl,x2,x3) нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазу керек.
° = (xl,x2,x3) жазықтықтың кез келген нүктесі болсын. Онда х-° векторы ізделініп отырған жазықтықта жатқандықтан
-°=(х1 –x1°,.x2 –х2°,х3 –х3°) = (al,a2,a3) = (b1,b2,b3) векторлары Компланар болады. Олай болса олардың арасы көбейтіндісі нөлге тең;
(-°)= 0 немесе
(1.26)
Соңғы теңдікті жазыктыктың бағыттаушы векторлары бойышпа жазылған теңдеуі дейді.
2-Есеп. Есеп. Бір түзудің бойында жатпайтын М0 (x0,y0,z0), М1 (x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) үш нүкте арқылы өтетін жазықтықдың тендеуін жазу керек.
==(x1-x0,yl-y0,zl-z0) және 2 = = (х2 - х0, у2 – у0, z2 - z0) векторлары р жазықтығының бағыттаушы векторлары болатындықтан (1.26) - бойынша M0(x0,y0,z0), M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) - үш нүкте арқылы өтетін жазықтык тендеуі келесі түрде жазылады:
3-Есеп.. α1: А1х1+А2х2 + А3х3+С = 0, α2: В1х} + В2х2 + В3х3 +D = 0 түрінде берілген екі жазықтық арасындагы бұрышты табу керек.
= (А1,А2,А3), = (В1,В2,В3) векторлары сәйкес α1 және α2 жазыктықтарына перпендикуляр болғандықтан осы екі вектор арасындағы бұрыш берілген екі жазықтық арасындағы бұрышқа тең. Олай болса (φ = ())
бұдан
Соңғы формуладан екі жазықтың перпендикулярлық белгісін жаза аламыз яғни немесе
және жазықтықтары параллель болу үшін A мен B векторлары коллинеар болады. Одан
Егер бұған қосымша
орындалса, онда жоғарыдағы және жазықтықтары беттеседі, яғни екі тендеу тек 6ip ғана жазықтықты анықтайды
4- есеп. °=(х1°,х2°,х3°) нүктесінен α: А1х1 +А2х2 +А3х3 +B = 0 жазықтығына дейін қашықтықты табу керек.
Жазықтық теңдеуін қалыпты түрге келтірейік:
( ) = p, p≠0.
13 - суреттен -0 α- жазықтығының кез келген = (х1,х2,х3)
нүктесімен берілген ° = (х01,х02,х03 ) нүктесінің айырымы болатын -° векторының v векторына проекциясының абсолют шамасы ізделініп отырған °- нен α – жазықтығына дейінгі d - қашықтығы болатынын көруге болады:
d= Пp,(-°)|= (°-° , )\=\ (, )-(°,)= \p-(° ,)\=\(°,)-p\ . Бұл теңдікті жазықтық параметрлері бойынша жазсақ
аламыз.
Суреттен, егер ° және - доғал бұрыш жасайды, сондықтан (x°,)-p>0
немесе (°,)>р, ал ° мен 0(0,0,0) нүуктелері α - жазыкдығының 6ip жағында жатса, онда (-°,) - сүйір бұрыш, сондықтан (°, ) - р < 0 немесе (°, ) < р болатынын көруге болады.