3. Функция графигігінің асимптоталары

Анықтама. Егер y=f(x) функциясының графигіндегі M(x,f(x) нүктесі координата бас нүктесінен шексіз алшақтағанда М осы нүктесінен y=kx+b түзуге дейінгі қашықтық нөлге ұмтылса, y=kx+b түзуі f(x) - тің графигінің асимптотасы деп аталады.

Мұнда екі жағдай болуы мүмккін:

1) M(x,f(x)) нүктесінің абциссасы х ақырлы а санына ұмтылады. Онда немесе х = а, у<о жартлай түзуі вертикаль асимптота болады;

2) М(х,f(х)) нүктесінің абциссасы немесе ұмтылады. Онда у = kx + b көлбеу асимптота деп аталады.

1 - теорема (вертикаль асимптота туралы). х - а түзуі вертикаль асимптота болуы үшін

(4)

шектерінің ең болмағанда біреуі шексіз үлкен болуы қажетті және жеткілікті.

Ескерту. Вертикаль асимптотаны анықтайтын ' х = а саны функциясының үзіліс (екінші ретті) нүктелерінің ішінде.

Егер у =f(х) - үзшліссіз функция болса, онда вертикаль асимптота жоқ.

2 - теорема (көлбеу асимптота туралы). y = kx + b түзуі y = f(x) функциясының көлбеу асимптотасы болуы үшінжане (4)

шектерінің бар болуы қажетті және жеткілікті.

(мұнда ұмтылғандағы шекоң жақ көлбеу асимптота, ал

-да ұмтылғандағы шек сол жақ көлбеу асимптота үшін қарастырылады).

4. Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу

Функцияны зерттеп, оньң графигін салу жұмысын келесі ретпен жүрпзуді ұсынуға болады.

1. Функцияның анықталу аймағын анықтау. Оны жұп, тақ, периодтылығы. Графиктің координата өстерімен қиылысу нүктелерін табу;

2. Функцияны үзіліссіздікке зерттеу.

3. Функцияның асимптоталарын табу.

4. Өсу, кему аралықтарын, экстремумдерді табу. ,

5. Ойыс, дөңес аралықтарын, иілу нүктелерін табу.

6. Табылған үзіліс нүктелерін, күдікті нүктелерді олардың арасындағы аралықтарды (интервалдарды) көрсетіп кесте (таблица) салу. Әрбір аралықта функцияның сипаты көрсетіледі.

7. Қажет болған жағдайда (дәлірек график үшін) функцияның аралық мәндерін таба отырып функция графигінің эскизін салу.

Қорытынды. № 43-44 лекциялардан кейін студенттер туындыны пайдаланып функцияны толық зерттеп графигін сала алады.

№ 45-46 лекциялар. Көп айнымалылы функция функция анықтамасы беріліп оның дербес туындылары мен толық дифференциалы оқылады. Айқындалмаған функция және оның туындыларын табу айтылады.

4 ТАРАУ

Көп айнымалыЛы функциялар

§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы

Анықтама. D жиынында реттелген (х, у) сандар жұбының жиыны берілсін. Егер әрбір (x,y) Dсандар жұбына z шамасының анықталған біp мәні сәйкес келсе, онда z тәуелсіз eкi х пен у айнымалыларының функциясы және ол D жиынында бepiлді дeйді.

D жиыны функцияның анықталу аймағы деп аталады; екі айнымалы функция

z = f(x,y), z = F(x,y) және т.с.с.

белгіленеді.

Екі айнымалы функция кесте немесе аналитикалық тәсіл - формула түрінде берілуі мүмкін.

Екі айнымалы функция анықтамасын үш немесе одан да көп айнымалылар үшін жалпылауға болады.

Анықтама. Егер әрбір Р(х₁,х₂,...,х_n) D нүктесінеқандай да бip анықталған f(P) = f(x₁,x₂,...,x_n) нақты саны сәйкес қойылса, онда D жиынында х₁,х₂,...,х_п - п-айнымалы

f: R^{n →} R сандық функциясы берілді дейдi. D - жиыны w=f(x₁,x₂,...,x_n) функциясының анықталу аймағы, ал E = {wR: w = f(P), PD} жиыны оның мәндер аймағы деп аталады.

F(x₁,x₂,...,x_nw) жазуы x₁,x₂,...,x_n,w шамаларының, арасында функциялык, байланыс бар екенін жалпы түрде көрсетеді, яғни осы шамалардың қандай да бipeyi, мысалы w, қалғандарының айқын емес функциясы екенін білдіреді.