6. Функцияның шегі.

y-f(x) функциясы а нүктесінің қандайда 6ip U(a) маңайында анықталған болсьш. ("а" - нүктесінде функция анықталмауы да мүмкін).

1 - анықтама. Егер кез келген >0 саны үшін f функциясының анықталу жиынында жататын және

О < х - а < () теңісіздіктері орындалатын барлық X сандары үшін

\f(x)-A\<

теңаздігі орындалатын ()>0 саны табылса, онда А саны f(x) функциясының "а" нүктестдегі шегі деп аталады да

f(x)A (xa) x  а  (х)  А (7)

символдарының бірімен белгіленеді.

1' - анықтама. Егер кез келген >0 саны үшін.

а<х<а +  (а-<х<а)

теңсіздіктері қанағаттандыратын барлық X үшін

\f(x)-A<

теңсіздігі орындалатындай () >0~~саны табылса анда "А" саны f(x) функциясының "а" нүктедегі оң жақ (сол жақ) шeгi деп аталады да

(x) = А; (x) = А, f(a+) = А,

(x) = А; (x) = А, f(a-) = А, m.c.c

символдарының бірімен белгіленеді.

Теорема. (x) шегі бар болуы үшін (x) пен (x)

шектері бар және олардың өзара тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни

(x) = (x) <=> (x) = A (8)

Мұнда да жоғарыдағыдай 6ip жақты шектер ұғымын анықтауға болады. оны оқырманға ұсынамыз.

(1) және (2) анықтамалар эквиваленто. Біз мұнда оның дәлелдеуіне тоқталмаймыз. 1 және 2 - анықтамаларды сәйкес Коши және Гейне анықтамасы дейді.

Ескерту. "функцияның "а" нүктеден шегі" деген сейлемді кебінесе "x - а - ға ұмтылғанда функцияныц шегі", немесе, кысқаша " ха функция шегі " - деп айтады.

2 - анықтама. Егер кез келген >0 саны үшін x\>() теңсіздігін қанағаттандыратын барлық хХ үшін \f(x)-A\< теңсіздігі орындалатындай () > 0 саны табылса, онда -ке ұмтылғанда f(x) функциясының шегі бар және ол "А" санына тең дейді де (x) = А немесе f(x)  А

(х  ) т.с.с. ' символдарының бірімен белгілейді.

Бұл жағдайға да "Біржақты шектер" ұғамын келтірейік. 3-анықтама. Егер кез келген >0 саны үшін х>(} (х < -() теңсіздігін қанағаттандыратын барлык. X - тер үшін \f(x)-A\<

теңсіздік орындалатындай S() > О саны табылса, онда х → -ке (- - ке) ұмтылғанда /(х) функциясының шегі бар және ол "А" санына тең дейді де

(x) - А немесе (x) = А

символдарынң бір мен белгілейді.

7. Шегі бар функциялардың қасиетгері.

jc  о шeri бар f(х) функциясының қасиеттерін карастырайық (мұндағы а - нақты сан немесе , +, - шексіздіктерінің 6ipi).

1 - теорема, (x) шегі бар болса, ол шек жалғыз.

2 - теорема. Егер (x) = A және А - нақты сан болса, онда f(х) функциясы "а"- нүктесінің кандай да 6ip U(a) маңайында шенелген, яғни кез келген X :

х: xU(a)ха х - тер үшін |(х)|М

теңсіздігі орындалатындай М > 0 саны табылады

3 - теорема. Егер (x) = (x)= A және қандай да 6ip U(a), ха аймағындағы х - тер үшін (х)≤(х)≤₂(х) теңсіздіктері орындалса, онда (x)= А.

4 - теорема. Егер

шектері бар және олар нақты сандар болса, онда:

, (9)

(10)

c0

5 - теорема (шектерде аймымалы ауыстыру). Егер (x)= b (y) шектері бар және f(x)b (ха) болса, онда [f(x)] шегі бар және [f (х)]= (у).

6 - Теорема. (Шектің бар болуының Коши 6eлirici).

(x)- шегінің накты мәні болуы үшін, берілген әрбір  >0 саны бойынша

О < х' - а <  және 0 < х" - а <  теңсіздіктерін қанағаттандыратын кез келген х',х" сандары ушін

f(x')-f(x^)<

теңсіздік орындалатындай  () > 0 санының бар болуы қажетті және жеткілікті.