2. Жиындар

Жиын қандайда 6ipобъектілірдіңжиынтығы. Жиынғакіретінобъектілірді жиынның элементтері деп атаймыз.

аА жазуы,"а" объектктіА жиынының элементіекенін(А жиынына жататынын) керсетеді, олапй болмаған жағдайда ("а" объектісіА жиын элементіемес)aА (немесеаА) деп жазылады. Бірде 6ipэлементіжоқ жйынбос жийын деп аталады да арқылыбелггіенеді.

АВ жазуы(А жиыныВ — да жатса),А жиыныныңәрбір элементіВ жиыныныңда элементіекенінбілдіреді, бұл жағдайдаА жиыны В жиынының жене жиыны (подмножество) деп аталады.

Егер А : В жәнеВ  А орындалса, ондаА мен В тең (А = В) жиындар деп аталады. Басқаша айтқанда егер жиындар бірдей элементтерден құралса, онда олар тең деп деп саналады.

Жиындарды берудіңекінепзгі тәсіл бар.

а) А жиыны оның барлық элементтерін а₁,а₂,...,а_я тікелей атап көрсетумен, яғни

А = {а₁,а₂,...,а_n.} түрінде анықталады;

б) А жиыны кандайда бір U бас (негізгі) жиынының тек кана а жалпы қасиетіне ие (немесе а шартың қанағаттандыратын) элементтерінің жиынтығы ретінде анықталады.

Бұл жағдайда

A = {xU:α(x)} белгілеуі пайдаланады.

Жиындар үшін сандарды қосу және көбейту амалдарының қасиеттеріне аналогиялық қасиеттері ие болатын бipiкne (6ipiгy) және қиылысу амалдарын кіргізуге болады.

Элементтері сандар болатын жиынды сандар жиыны деп атайды. Негізгі сандар жиындарын келтірейік.

Натурал сандар жиыны N арқылы белгіленеді:

N = {1,2,3,...}.

Натурал сандар жиынында қосу және кебейту амаддарын орындауға болады.

Бүтш сандар жиыны Z арқылы белгіленеді.

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Z — жиынында косу, азайту және кебейту амалдарын алуға болады.

Рационал сандар жиыны Q арқылы белгіленеді.

Q жиынында барлық төрт арифметикалық амалдарды орындауға болады.

Рационал және иррационал сандар жиыны нақты сандар жиыны болады да R аркылы белгіленеді R жиынында барлық арифметикалық амалдар, тepic емес сандардың кез келген дәрежелі түбірін табуға болады.

Бұл жиындар бір-бірінің ішіене жиыны болатынын былайша жазып керсетуте болады:

NZQR.

3. Математикалық логика символдары.

Математикалық сөйлемдерді жазуда үнемді болу үшін логикалық символдарды пайдаланады. Мұнда ең карапайым және жіирек қолданылатын логикалық символдарды ғана келтіреміз.

а, 13,... кандайда 6ip пікірлер (пайымдаулар, высказывания), яғни, әркайсысы тұралы "шын" немесе "өтірік" деп айтуға болатын хабарлы сөйлемдер бол сын.

1) а => β жазуы: " α пікірінен β пікіpi шығады", немесе,

қысқаша " α — дан β шығады" дегенді білдреді. ("=>" — импликация (токыма) символы.

2) α=>β жазуы "α пікірі β пікіріне парапар (эквивалентті)", басқаша айтқанда, "а=>β" және "β=>α" импликациялары орын алады дегенді білдіреді. ("<=>" - парапар символы).

Математикада кез келген теореманы " α => β " түрінде ("α"— теорема шарты, "β"- оның корытындысы) жазуға болады.

3) ал α,β жазуы: "α және β" дегенд1 білдіреді ("^" -конъюнкция (6ipiктірмe) символы).

4) α^β жазуы: " α немесе β " дегенді білдіреді ("^" -дизъюнкция (ажырастық, бытыраңқылык,) символы).

5) х  X (х) жазуы: "кез келген х  X элементі үшін а(х)

қасиеті орындалады" дегенді білдіреді ("" жалпылық кванторы (кисындамасы)). "V" кванторы ауызша тұжырымдарда "барлық", "кез келген", "әp6ip" деген сездерді ауыстырады. "" - белгісі ағылшынньң "Any — барлық" деген сөзінің 6ipiншi әріпінің төңкеріліп жазылуы.

6) хХ (х) жазуы: " қасиеті орындалатын хХ

элементі бар (немесе, табылады) дегенді бiлдipeдi ("" — бар болу кванторы). "" - кванторы "бар", "табылады" деген сездер орнына колданылады. "" белгісі ағылшынның "Existence - бар" деген сезінің 6ipiнiшi әрпінің Tepic аударылып жазьшуы.

Егер (х) касиеті орындалатындай х  X бар, және ол жалғыз ғана элемент болса, онда

.хХ(х}

. деп жазады.

7) 7 немесе а жазуы а пікірінің Tepic екенін білдіреді, (7— терістеу символы).

Теоремаларды дәлелдеуде жиі қолданылатын әдіс — "Kepi жөру". Оның негізі "=>p" мен (7=>7)пікірінің парапарлығында.

4. Keciндi, аралық, шенелген жиын

R — нақты сандар жиынының шене жиындары үшін келесі белгілерді енпземіз.

а≤х≤Ь к,ос теңсіздгін қанағаттандыратын xR сандар жиыны кесінді (а,b — кесшді ұштары) немесе сегмент деп аталады да [а,b] деп белгіленеді.

Сонымен,

[a,b] ={xR:a≤x≤b}. Осы сияк,ты,

(a,b) ={xR:a<x<b] — аралық

[а,b) ={xR:a≤x<b} немесе,

(a,b]={xR:a≤x≤b} жартылай аралық деп аталады.

Кесінді, аралық және жартылай аралық — сандар аралықтары немесе жай ғана аралықтар деп аталады.

Көп жағдайда, R накты сандар жиынын сәйкес "плюс шексіз" және "минус шекіз" деп аталатын —  жэне +символдарымен толықтыру ыңғайлы. Және олар үшін келесі шарттар орындалады деп есептейміз:

-  < +, (+) + (+) = +; (-) + (-) = -, (+) • (+) = (-) • (-) = +; (+) • (-) = (-) • (+) = -;

R, - < а < +; а + (+) = +оо + а = +оо;

- + а = а + (—) = —;

a > 0; а • (+) = (+) • а = +, а • (-) = (-) • а = -; a < 0; а • (+) = (+оо)

а , а • (-) = (-) • а - +; "+" пен "-" шексіздіктерін кейде "шекті сандар" деп аталатын   R нақты сандарынан ажыратып "шексіз сандар" деп атайды.

"-" жене "+" шексхз сандарымен толықтырылған R пакты сандар жиыны "нақты сандардың кеңейтлген жиыны" (немесе) "кеңейтілген сандар өсі деп аталады да R аркылы белгіленеді, сонымен,

= R{+}{-}.

Келесі аралықтарды "шексіз аралықтар" деп атайды:

R (-;+) = [х  R : -< х < +оо};

(- ;а] = {х  R: х < а}; [- ;а] = {- }  (- ;a}

(-;а)= {хR:х<а}; [-,а) - {-}  (-; а)

[о,+) = {х е R: х  а}; [а;+] = [a ;+) {+ }.

(а,+) = {xR:x>a}. (а;+] = (а,+) и {+ }.

Кеңейтілген сандар өсіндегі нүктенің  — маңайы (>0):

1. aR - нақты санының  - маңайы О_(а) арқылы белгіленеді және

О_(а) = (а - , а + ) = {х  R : х - а\ < \

2. а = + болса, онда

О_ (+) = (,+] = {х  R: х > };

3. а = -болса, онда

O_ (-) = [-,--) = {х  R: х < -};

Кейде сандар өсін 6ip элементен: "" ғана толықтырады және оны "шексіздік" деп атайды. Таңбасы керсетілмеген шексіздік пен нақты сандар арасында (- < х < +сияқты) реттік қатыс жоқ Алайда оның  - маңайын келесі түрде жазады.

4. U_() def {x:|x|>-} = [-;)(+]_;

О_е() = [- ;-) (+] = {х  R: |х| > }

Жалпы жағдайда а  R (шекті немесе шексіз) нүктесінің s -маңайын жай ғана О(а) деп белглейді.

Ескерту. Соңғы 2), 3) және 4) анықтамаларда ->0 шарты тек анықтамалар бірдей түрде болуы үшін ғана қажет.

X = {х}  R — нақты сандардан кұралған кез келген жиын болсын.

Егер: кез келген х  X үшін х ≤ М, яғни

х  X: х ≤М

теңсіздік орындалатын МeR нақты саны бар болса, онда X — жоғарыдан шенелген жиын; ал "М" оның жоғаргы шекарасы деп аталады. Бұл жағдайда кез келген М' > М саныда X — тың жоғарғы шекарасы бола алады.

—кез келген х X у тің хт, яғни

x X: х m

орындалатындай m R — нақты саны табылса, онда X — төменнен шенелген жиын, ал. "т" — оның теменгі шекарасы деп аталады.

— X — төменнен де, жоғарыдан да шенелген, яғни

xX: m ≤ х ≤ M, mR, MR (1)

болса, онда X — шенелген жиын деп аталады . Дербес жағдайда, егер

xR:x≤M (1)

кос теңсіздігі орындалатындай М > 0 нақты саны бар болса, онда X — шенелген жиын, өйткені,

х <М-М≤х≤М> X — шенелмеген жиын болса, онда

М>0,х₀ Х: х₀ >М (2)

орындалады.

Егер ER сандар жиынында әрбір х Е үшін х ≤с (хс)

теңсіздіггі қанағаттандыратын сЕ саны (с = +, с = - болуыда

мүмкін) бар болса, онда оны Е — сандар жиынының ең үлкен элементі (ең қиын элементі) деп атайды да с = max Е = max_xE х; (с - min Е = min _xE х) арқылы белгілейді.

X  R жиынының жоғарғы шекаралар жиынының ең кіші элементі X — жиынының дәл жоғарғы шекарасы деп аталады да sup X

(немесе ) арқылы белгтенеді, және "супремум X" деп

оқылады.

XR жиынының төменгі шекаралар жиынының екі үлкен элементі X — жиынының дәл теменгі шекарасы деп аталады да inf X (немесе) арқылы белгшенеді, және "инфимум X" деп окылады.

Егер X жоғарыдан (теменнен) шенелмеген жиын болса, онда sup X = +(inf X = -).