§1.2. Минорлар мен алгебралық, толықтауыштар

Анықтауыш элементтерін жол немесе баған элементтері бойынша жіктеу.

Кез келген ретті анықтауышты анықтауға келесі қасиет мүмкіндік береді.

Анықтама. А матрицасының - элеменінің миноры деп элементі тұрған жол мен бағанды алып тастап А матрицасының қалған қатарларынан құралған матрицаны айтады.

n - ші peттi А матрицасының элементінің минорыpeтi " n -1" тең квадрат матрица болады. Оны арқылы белгілейміз.

Минор түсінігін анықтауыштар үшін де қолданады. Анықтауыштың элементінің минорын арқылы белгілесек, онда .

Мысал.

болса, онда

Анықтама. элементінің алгебралық, толықтауышы немесе адъюнкті деп санын айтады.

8°. Анықтауыштың қандай да бip қатарының элементтері мен олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыш шамасына тең:

(1.4)

(1.5)

(1.4) - қосынды анықтауыштың 1 -ші жол элементтері бойынша жіктелуі, ал (1.5) қосынды - анықтауыштың k - шi баған элементтері бойынша жіктелуі деп аталады.

9°. Анықтауыштың қандайда бip қатар элементтерімен осы қатарға параллель басқа бір қатардың сейкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының көбейткіштерінің қосындысы нөлге тең.

Анықтама. n - ші pemmi А матрицасыныц анықтауышы деп жіктелу туралы 8° тұжырымды және басқада (анықтауыштың) қасиеттерін пайдалана отырып алынған осы матрицаға сәйкес келетін санды айтады.

№ 3-4 лекциялар. Матрицамен жасалатын амалдар анықталады. Кері матрица мен матрица рангісін табу жолдары мысалмен көрсетіледі.

§1.3. Матрицаларға амалдар қолдану

Матрицаларға жасалатын келесі амалдарды қарастырамыз:

Матрицаны санға көбейту, матрицаларды қосу, матрицаларды көбейту және кepi матрица табу.

Алдымен келесі түсініктерді енгізейік.

Квадрат матрицаның бас диагоналінің сыртындағы (бас диагональ элементтерінен басқа) элементтердің барлығы нөлге тең болса оны диагональдік матрица дейді. n - шi ретті диагональдік матрицаны келесі түрде жазуға болады

Егер мұнда болса, ондаd=1 және d=0 үшін

диагональдік матрица сәйкес бірлік матрица және нөлдік матрица деп

аталады:

Е=, 0=,

Ескерту. Нөлдік матрица түсінігі кез келген тік бұрышты (квадрат емес) матрицалар үшін де енгізіледі.

Анықтама. j=l,2„..,n матрицасы мен санының көбейтіндісі деп әpбip элементі ға тең,

i = 1,2,..., m; j =1,2,..., n матрицасын айтады.

Бұл амал үшін келесі қасиеттер орындалады:

1) сандық, көбейткіштерге қатысты ассосиативті.

2) - сандарды қосуға қатысты дистрибутивті.

Сонымен бipre (-1)*А=-А, 0*А=0 теңдіктері орындалады.

Анықтама. Бірдей өлшемді А мен В матрицаларының қосындысы деп әpбip элементі тең, өлшемі А немесе В өлшеміндей матрицасын айтады.

Матрицаларды қосу амалы үшін келесі қасиеттер орындалады:

1) А+В=В+А — коммутативтік;

2) (А + В) + С = А + (В + С) - ассоциативтік;

3) - матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивтік.

Анықтама. және матрицаларының көбейтіндісі деп элементтері

,

яғни i - шi жол мен j - ші-баған қиылысуындағы элементі А матрицасының i - ші жолы мен В матрицасының j - ші бағанының сәйкес элементтерінің көбейтінділерінің қосындысына тең болатын матрицасын айтады.

Ескерту. Анықтамадан 1 - шi матрицаның бағандар саны 2 - ші матрицаның жолдар санына тең болатын матрицаларды ғана көбейтуге болатынын көреміз.

Бұл мысалдан яғни матрицаларды көбейту коммутативті емес екендігі де байқаймыз.

Матрицаларды көбейту амалы келесі қасиеттерге ие:

1) (АВ)С=А(ВС) - ассоциативті;

2) (А+В)С=АВ+ВС және матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивті;

3) Квадрат матрицалар үшін яғни

көбейтінді анықтауышы көбсйткіштерге анықтауыштарының көбейтіндісіне тең.

Сонымен бipre кез келген квадрат А матрица үшін

АЕ=ЕА=А, А*0=0*А=0,

яғни бірлік матрица Е бipлiк сан сияқты, ал нөлдік матрица нөл саны сияқты роль атқарады.

Анықтама. Егер E– бірлік матрица, тендіктері

орындалса, онда матрицасы А матрицасына кepi деп аталады.

Анықтама. Анықтауышы нөлге тең емес квадрат матрица нұқсансыз (невырожденной), ал анықтауышы нөлге тең квадрат матрица нуқсанды (вырожденной) деп аталады.

Ескерту. "Нуқсанды" немесе "нуқсансыз" түсініктер тек қана

квадрат матрицалар үшін ғана қолданылатынын ескертеміз.

теңдігінен нұқсанды матрица үшін кepi матрица болмайтыны шығады

Анықтама. квадрат матрицасы берілсе,оның

элементтерінің агебралық толықтауыштарынан құралған

матрицасын тіркелген матрица деп атайды.

Тіркелген матрицаны алу үшін А матрицасының әpбip элементін оның алгебралық толықтауышымен ауыстырып, алынған матрицаны транспонирлеу керек.

Тіркелген матрицаның элементінің1 - ші индексі баған, ал 2 - ші индексі жол нөмерін көрсетеді -ші баған мен j ші жол қиылысуындағы элемент.

Kepi матрица туралы

Теорема. Нұқсансыз матрицалардың, тек қана солардың кepi матрицалары бар және кepi матрица

формуласы бойынша табылады.