- •Халықаралық бизнес университеті
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Оқытушыға арналған пәннің оқу жұмыс бағдарламасы
- •Алматы, 2013
- •Күнтізбелік-тақырыптық жоспар
- •Пәннің мазмұны
- •Негізгі оқыту әдебиеттері
- •Қосымша оқыту әдебиеттері
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Алматы, 2013
- •Силлабус (үлгі)
- •5B090800-«Бағалау мамандығына арналған «Математика» пәнін оқу – әдістемелерімен қамтамасыз ету картасы
- •1. Сызықтық алгебра
- •§1.1. Матрицалар (тікшемдер). 2 - шi, 3 - шi peттi анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері.
- •§1.2. Минорлар мен алгебралық, толықтауыштар
- •§1.3. Матрицаларға амалдар қолдану
- •§1.4. Матрица рангі
- •§1.5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (сатж). Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
- •§1.6. Сатж зерттеудің және оның шешімін табудың Гаусс әдісі
- •§1.7. Біртекті және біртекті емес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
- •1. Векторлар және оларға қолданылатын амалдар.
- •§2.2 Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары.
- •§2.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу
- •§2.4 Векторлардың түзуіге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері.
- •§2.5 Векторлық көбейтінді және оның қасиеттері.
- •§2.6 Векторлардың аралас көбейтіндісі.
- •Аналитикалық геометрия негіздері.
- •§ 1.1. Жазықтықтағы түзу
- •§1.2. Жазықтық теңдеуі.
- •§ 2.3. Кеңістіктегі түзу.
- •§2.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
- •§ 2.5. Екінші ретті беттер
- •1. Эллипсоид
- •4. Екінші peттi конус
- •5.Екінші ретті цилиндрлер
- •Математикалық талдауға к1р1спе. Б1р айнымалы функцияның дифференциалдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалық логика элементтері Аралықтар
- •1. Математика пәні. Тұрақты және айнымалы шамалар
- •2. Жиындар
- •§ 3.2. Функциялар
- •1. Функция. Оның бepілyi.
- •2. Элементар функциялар
- •§3.3. Шектер
- •1. Нақты сандар тізбегі және оның шегі
- •2. Шексіз азаятын және шексіз үлкейетін шамалар
- •4. Монотонды тізбектер. Е — саны
- •5. Тізбектің жинақталуының Коши шарты
- •6. Функцияның шегі.
- •7. Шегі бар функциялардың қасиетгері.
- •8. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар.
- •9. Функциялардың үзіліссіздігі.
- •10. Екі тамаша шек
- •11. Шексіз аз және шексіз үлкен шамаларды салыстыру
- •13. Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиетттері
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •1. Туынды
- •2. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы
- •3. Дифференциалдау ережелері
- •4.Kepi функция туындысы
- •5. Параметрмен берілген функция және оның туындысы
- •6. Функция дифференциалы
- •7. Жоғарғы peттi туындылар мен дифференциалдар
- •8. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар
- •9. Лопиталь ережесі
- •10. Тейлор формуласы
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •3. Функция графигігінің асимптоталары
- •4. Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу
- •Көп айнымалыЛы функциялар
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •3. Бетке жанама жазықтық. Толық дифференциалдың геометриялық көpiнici.
- •4. Толық дифферендиалдың жуықтап есептеулерге қолданылуы
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •5 Тарау интегралдар
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •1. Ауыстыру (айнымалыны алмастыру) әдісі.
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •1. Геометриялық және физикалық есептер. Анықталған
- •2. Анықталған интегралдардың касиеттері
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Тақырыптарды меңгеру дәрежесін анықтауға арналған сұрақтар 1. Сызықтық және векторлық алгебра
- •2. Аналитикалық геометрия
- •3 . Математикалық талдауға кipicne. Бip айнымалы функцияның дифференциалы есептеуі.
- •4. Көп айнымалылы функция
- •5. Интегралдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалықлогика элементтері Аралықтар
- •§ 3.2. Функциялар
- •§3.3. Шектер
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Глоссарий:
- •Студенттерге таратылатын материалдар
§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
f функциясының интегралдық қосындысы
түрінде жазылатындықтан, интегралдау айнымалысын кез келген әріппен көрсетуге болады:
Біз төменде интегралдау айнымалысын, оқырманға түсінікті болу үшін, ыңғайлы әріппен алмастырып отыратын боламыз.
f [а,b] кесіндісінде интегралданатын функция болсын. Онда ол кез келген х[а,b]нүктсі үшін [а,х] кесіндісінде де интегралданады (дәлелдеусіз қабылдаймыз). Мысалы, [а,b] кесіндісінде үзіліссіз немесе монотонды функция [а,х][а,b]кесіндісінде де, сәйкес, үзіліссіз немесе монотонды, демек, интегралданады.
Әpбip x[a,b]санына анықталған - мәні сәйкес келеді, яғни
(1)
- интегралдың жоғары шегіне тәуелді функция.
1-теорема. Егер f [а,b] кесіндісіне интегралданатын функция болса, онда
функциясы кез келген x[a,b]нүктесінде үзіліссіз болады.
2-теорема. Егер f [а,b] кесіндісіне интегралданатын және x[a,b]нүктсінде үзіліссіз функция болса, онда осы х нүктесінде F'(x) - туындысы бар және
(2)
теңдігі орындалады.
Басқаша айтқанда, [а,b] кесіндісінде үзіліссіз f(x) функциясының осы кесіндіде алғашқы функциясы бар болатыны шығады және ол алғашқы функцияның бipi ретінде алуға болады:
(3)
§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
интегралдарды есептеуге қолданылуы
f [а,b] – кесіндісінде үзіліссіз функция, ал Ф(u) оның осы кесіндідегі қандай да бip алгашқы функциясы болса, онда
(1)
теңдігі орындалады. (1) — Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.
1-теорема (айнымалыны алмастыру туралы). Егер φ(t) функциясы [c,d] кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданатын және а=φ(с), b=φ(d) болып, сонымен бipгe f(x) [а,b] кесіндісінде үзіліссіз функция болса, онда келесі теңдік орындалады '
(2)
Келесі теңдіктерді анықталған интегралды есептеуде жиі пайдаланады:
1) Егер f жұп функция болса (f (-u)= f (u)), онда
(3)
2) Егер f тақ функция болса (f (-u)= -f (u)), онда
(4)
2-теорема. Егер и(х) пен v(x) [a,b] кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданатын функциялар болса, онда келесі бөлікпен интегралдау формуласы орындалады:
(5)
3-теорема. (орта мән туралы), [a,b] кесіндісінде үзіліссіз f(x) функциясы үшін
(6)
§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
1. Бірінші және екінші текті меншіксіз интегралдар. Біз осыған дейін анықталған интегралдар туралы айтқанда интегралдау аралығы шектелген және интеграл астындағы функция осы аралықта шенелген деп қабылдадық. Бірақ анықталған интеграл анықтамасын шексіз интегралдау аралығы үшін және шенелмеген функция жағдайына арнап зерттеу қажеттігі жиi кездеседі. Енді осы сұрақтарды қарастырайық.
I. а) f функциясы [а,+∞) аралығында берілсін;
б) f - кез келген ақырлы [а,b'] кесіндісінде (мұндағы b'(a,+∞)интегралданатын болсын.
Егер
(1)
шегі болса, онда ол шек f функциясының [а,+∞) аралығындағы (бipінші текті) меншіксіз интегралы деп аталады да келесі түрде белгіленеді
II. а) f-шекті [а,b) аралығында берілген және b-нүктесінің маңайында шенелмеген функция;
б) f - кез келген [а,b'] кесіндісінде (а< b'< b) интегралданатын функция болсын.
Егер
(2)
шегі болса, онда ол шек f функциясының [а,b] кесіндісіндегі (екінші текті) меншіксіз интегралы деп атайды да оны
деп жазылады.
Егер f функциясы үшін I немесе II шарттың тек бipi ғана орындалса, онда
(3)
өрнегін жалғыз ерекшелігі b-нүктесінде болатын интеграл деп атайтын боламыз.
Осы сиякты жалғыз ерекшелігі а-нүктесінде болатын интегралды да анықтауға болады. Бұл жағдайда I және II шарттар келесі түрде тұжырымдалады:
I. а) f функциясы (-∞;а] аралығында берілген
б) f - кез келген ақырлы [а',b] кесіндісінде (-∞<а'<а) интегралданатын функция.
II. а) f – шекті (a,b] аралығында берілген және а-нүктесінің маңайында шенелмеген функция;
б) f - кез келген [а', b] кесіндісінде (а<а'< b) интегралданатын функция.
Егер меншіксіз интеграл астындағы функцияның алғашқы функциясы бeлгiciз болса, онда оның жинақтылығы туралы айту қиын. Ондай жағдайларда, кейде алғашқы функцияны керек етпейтін арнайы белгілерді пайдаланып, интеградың жинақты немесе жинақсыз болатындығын білуге болады. Енді осы сұрақтарға көшейік.
2. Меншіксіз интегралдардың жинактылық белгілері. Таңбасы тұрақ емес функция интегралын зерттеуге арналған келесі түciнікті енгізейік. Егер
(4)
интегралы жинақты болса, онда
(5)
интегралы абсолют жинақты болады дейді; Егер (5) - жинақты, ал (4) - жинақсыз интеграл болса, онда (5) - интеграл шартты жинақты деп айтады.
Ескертпе. Егер f(x)≥о, х[а,) болса онда (5) интегралдың жинақтылығы мен жинақсыздылығынан сәйкес
Tepic емес функциялардың меншіксіз интегралдарын жинақтылыққа зерттейміз.
1-теорема. Жалғыз ерекшілігі b- нүктесінде болатын
интегралдары үшін [а,b) аралығында
(8)
теңсіздіктері орындалсын. Онда
теңсіздігі орындалады және (7)-интегралдың жинақтылығынан (6)-интегралдың да жинактылығы, ал (6)-интегралдың жинақсыздылығынан (7)-интегралдың да жинақсыздығы шығады.
2-теорема. (6) және (7) интегралдардың ерекшелігі жалғыз b нүктесінде болсын. Егер интеграл астындағы функциялар оң және
(9)
болса, онда (6), (7) интегралдар бір мезгілде жинақты немесе бip мезгілде жинақсыз.
Қорытынды. № 57-58 лекциялардан кейін студент анықталған интегралды есептеу тәсілдерін меңгеріп оның қолданыстағы мағынасын білетін болады.
№ 59-60 лекциялар. Анықталған интегралдың көмегімен шығарылатын есептер қарастырылады. Оларды шешу жолдары көрсетіледі.