- •Халықаралық бизнес университеті
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Оқытушыға арналған пәннің оқу жұмыс бағдарламасы
- •Алматы, 2013
- •Күнтізбелік-тақырыптық жоспар
- •Пәннің мазмұны
- •Негізгі оқыту әдебиеттері
- •Қосымша оқыту әдебиеттері
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Алматы, 2013
- •Силлабус (үлгі)
- •5B090800-«Бағалау мамандығына арналған «Математика» пәнін оқу – әдістемелерімен қамтамасыз ету картасы
- •1. Сызықтық алгебра
- •§1.1. Матрицалар (тікшемдер). 2 - шi, 3 - шi peттi анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері.
- •§1.2. Минорлар мен алгебралық, толықтауыштар
- •§1.3. Матрицаларға амалдар қолдану
- •§1.4. Матрица рангі
- •§1.5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (сатж). Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
- •§1.6. Сатж зерттеудің және оның шешімін табудың Гаусс әдісі
- •§1.7. Біртекті және біртекті емес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
- •1. Векторлар және оларға қолданылатын амалдар.
- •§2.2 Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары.
- •§2.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу
- •§2.4 Векторлардың түзуіге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері.
- •§2.5 Векторлық көбейтінді және оның қасиеттері.
- •§2.6 Векторлардың аралас көбейтіндісі.
- •Аналитикалық геометрия негіздері.
- •§ 1.1. Жазықтықтағы түзу
- •§1.2. Жазықтық теңдеуі.
- •§ 2.3. Кеңістіктегі түзу.
- •§2.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
- •§ 2.5. Екінші ретті беттер
- •1. Эллипсоид
- •4. Екінші peттi конус
- •5.Екінші ретті цилиндрлер
- •Математикалық талдауға к1р1спе. Б1р айнымалы функцияның дифференциалдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалық логика элементтері Аралықтар
- •1. Математика пәні. Тұрақты және айнымалы шамалар
- •2. Жиындар
- •§ 3.2. Функциялар
- •1. Функция. Оның бepілyi.
- •2. Элементар функциялар
- •§3.3. Шектер
- •1. Нақты сандар тізбегі және оның шегі
- •2. Шексіз азаятын және шексіз үлкейетін шамалар
- •4. Монотонды тізбектер. Е — саны
- •5. Тізбектің жинақталуының Коши шарты
- •6. Функцияның шегі.
- •7. Шегі бар функциялардың қасиетгері.
- •8. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар.
- •9. Функциялардың үзіліссіздігі.
- •10. Екі тамаша шек
- •11. Шексіз аз және шексіз үлкен шамаларды салыстыру
- •13. Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиетттері
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •1. Туынды
- •2. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы
- •3. Дифференциалдау ережелері
- •4.Kepi функция туындысы
- •5. Параметрмен берілген функция және оның туындысы
- •6. Функция дифференциалы
- •7. Жоғарғы peттi туындылар мен дифференциалдар
- •8. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар
- •9. Лопиталь ережесі
- •10. Тейлор формуласы
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •3. Функция графигігінің асимптоталары
- •4. Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу
- •Көп айнымалыЛы функциялар
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •3. Бетке жанама жазықтық. Толық дифференциалдың геометриялық көpiнici.
- •4. Толық дифферендиалдың жуықтап есептеулерге қолданылуы
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •5 Тарау интегралдар
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •1. Ауыстыру (айнымалыны алмастыру) әдісі.
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •1. Геометриялық және физикалық есептер. Анықталған
- •2. Анықталған интегралдардың касиеттері
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Тақырыптарды меңгеру дәрежесін анықтауға арналған сұрақтар 1. Сызықтық және векторлық алгебра
- •2. Аналитикалық геометрия
- •3 . Математикалық талдауға кipicne. Бip айнымалы функцияның дифференциалы есептеуі.
- •4. Көп айнымалылы функция
- •5. Интегралдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалықлогика элементтері Аралықтар
- •§ 3.2. Функциялар
- •§3.3. Шектер
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Глоссарий:
- •Студенттерге таратылатын материалдар
§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
Анықтама. D жиынында реттелген (х, у) сандар жұбының жиыны берілсін. Егер әрбір (x,y) Dсандар жұбына z шамасының анықталған біp мәні сәйкес келсе, онда z тәуелсіз eкi х пен у айнымалыларының функциясы және ол D жиынында бepiлді дeйді.
D жиыны функцияның анықталу аймағы деп аталады; екі айнымалы функция
z = f(x,y), z = F(x,y) және т.с.с.
белгіленеді.
Екі айнымалы функция кесте немесе аналитикалық тәсіл - формула түрінде берілуі мүмкін.
Екі айнымалы функция анықтамасын үш немесе одан да көп айнымалылар үшін жалпылауға болады.
Анықтама. Егер әрбір Р(х1,х2,...,хn) D нүктесінеқандай да бip анықталған f(P) = f(x1,x2,...,xn) нақты саны сәйкес қойылса, онда D жиынында х1,х2,...,хп - п-айнымалы
f: Rn → R сандық функциясы берілді дейдi. D - жиыны w=f(x1,x2,...,xn) функциясының анықталу аймағы, ал E = {wR: w = f(P), PD} жиыны оның мәндер аймағы деп аталады.
F(x1,x2,...,xnw) жазуы x1,x2,...,xn,w шамаларының, арасында функциялык, байланыс бар екенін жалпы түрде көрсетеді, яғни осы шамалардың қандай да бipeyi, мысалы w, қалғандарының айқын емес функциясы екенін білдіреді.
§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
z = f(x,y) функциясы берілсін. Егер у аргуменіне тұрақты у0 мәнін беріп тек х-ті ғана өзгертіп отырсақ, онда z тәуелсіз бip айнымалы х-тің функциясы болар еді: z = f(x,y0) Бұл функцияға бip айнымалы функцияны зерттеудің белгілі әдістерін қолданып, z шамасының х-ке тәуелді өзгеру сипатын ала аламыз: z = f (х, у) беті мен OXZ-ке параллель у = у0 жазықтығының қиылысу сызығы PS (22-сурет). х-ке ∆х өсімшесін берейік.
22-сурет
Онда оған сәйкес z-те өсімшеге ие болады. Оны z-тің х бойынша дербес өсімшесі дейді де ∆х z арқылы белгілейді (22- суретте SS' кесіндісі):
∆xz = f (х + ∆х, у) - f (х,у).
Осы сияқты х-ке тұрақты х0 мәнін беріп z –тің у-ке тәуелді өзгеру сипатын алуға болады: z = f(x,y) беті мен OYZ-ке параллель х = х0 жазықтығының қиылысу сызығы. у-ке ∆у-өсімшесін берсек, онда z у - бойынша ∆уz дербес өсімшеге ие болады (22-суретте ТТ' кесіндісі):
∆yz = f(x,y + ∆y)-f(x,y).
Ал егер х пен у аргументтеріне сәйкес ∆х және ∆у өсімшелерін берсек, онда z үшін жаңа ∆z өсімшесін аламыз. Ол z функциясының толық өciшесі деп аталады:
∆z = f (х + ∆х, у + ∆у) - f(x,y)
Жалпы жағдайда толық өсімше дербес өсімшелердің қосындысына тең емес:
∆z ∆хz + ∆yz
Ескерту. n≥3 айнымалы функциясының толық және дербес өсімшелері осы сияқты анықталады.
Тұрақты мәнді тәуелсіз х,у айнымалыларының біріне емес, z функциясының өзіне бере отырып та z = f(x,y) функциясын зерттеуге болады. z = z0 деп алсақ
f(x,y) = z0 (1)
теңдеуі (z функциясының тұрақты z0 мәнін сақтай отырып) х пен у айнымалыларының арасындағы тәуелдікті береді.
23-сурет
Бул жағдайда z = f(x,у) бeтi мен OXY-ке параллель z = z0 жазықтығының L қиылысу сызығын аламыз (23 - сурет).
OXY жазықтығында (1) теңдеу f(x,y) = 0 түріне ие болды және бұл теңдеу L сызығының OXY -жазықтығындағы l проекциясын анықтайды. Координаталары х,у болатын нүкте l қисығының бойымен қозғалғанда, z-функциясы тұрақты z0 мәнін сақтайды.
Анықтама. z = f(x,y) функциясының деңгей сызығы деп (х,у)l нүктелерінде функция тұрақты мән сақтайтын l OXY қисығын айтады.
Қолданбалы ғылымда деңгей сызығын зерттелетін екі айнымалы функцияны көз алдымызға елестету үшін жиі қолданады. Мысалы, жер нүктесінің теңіз деңгейінен биіктігін екі айнымалы функция ретінде қарастырып, картаға осы функцияның деңгей сызықтарын салады. Оларды топографияда горизонтальдар (жатық сызықтар) деп атайды. Жатық сызықтардың орналасуына қарай жер биіктігінің өзгеруін көруге болады.
Аныктама. f(x,y) функциясы нүктесінің қандай да бip маңайында анықталған болсын (оның нүктесінің өзінде анықталмауы да мумкін, яғни х ≠ х0 немесе у ≠ у0).
Егер әрбір ε>0 саны арқылы теңсіздігін қанағаттандыратын барлықнүктелері үшін
шарты орындалатындай δ>0 саны бар болса, онда А саны f функциясының нүктесіндегі шегідеп аталады да
немесе (2)
деп жазьлады.
n-тәуелсіз айнымалы функция шегі де дәл осылай анықталады.
Егер А саны функциясының нүктесіндегі шегі болса, ондаА саны функциясының бойынша нөл нүктесіндегі шегі:
және керісінше болатыны айқын көрініп тұр.
Анықтама. Егер функциясы нүктесінің қандайда бip маңайында және осы нүктесінде анықталып
немесе (3)
теңдігі орындалса, онда функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
f функциясының нүктесіндегі дік шартын оған пара-пар
(4)
түрінде жазуға болады, яғни, функциясы бойынша нүктесінде узіліссіз болса, онда функциясы нүктесінде узіліссіз.
Егер х = х0 + ∆х, у = у0 + ∆у деп алсақ, онда (3) теңдікті
немесе
(5)
түрінде де жазуға болады. Бұл теңдік (х0,у0) нүктеде узіліссіз функцияның осы нүктедегі шегі функцияның (х0,у0) нуктесіндегі мәніне тең болатынын көрсетеді.
Егер деп алсақ, ондажәне
және, керісінше
Олай болса (5) теңдігін
(6)
түрінде жазуға болады.
Аймақтың әpбip нүктесінде үзіліссіз болатын функция осы аймақта үзіліссіз деп аталады.
Шектің касиеттерінен: Р0(х0,у0) нүктесінде үзіліссіз f(x,y), φ(x,y) функцияларының қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және φ(х0,у0) ≠ 0 болса бөліндісі үзіліссіз функция болатыны шығады.
1-ескерту. Екі айнымалы функцияның үзіліс нүктелері тұтас сызықтарды құрауы да мүмкін.
2-ескерту. Айнымалылары кез келген сан болатын функция үзіліссіздігі де дәл осы сиякты анықталады.